Die [i][b]Öko-Schoko GmbH[/b][/i] stellt Schokoladenosterhasen mit fair und ökologisch produzierter Schokolade her. Die Fixkosten werden mit [math]500\text{GE}[/math] angenommen, das Betriebsoptimum liegt bei [math]x_{BO}=10\text{ME}[/math]. Die langfristige Preisuntergrenze wird mit [math]\textstyle 95\frac{\text{GE}}{\text{ME}}[/math] berechnet. Bei der Kapazitätsgrenze von [math]x=20 \text{ME}[/math] betragen die Stückkosten [math]\textstyle 245\frac{\text{GE}}{\text{ME}}[/math]. Wie lautet die Kostenfunktion?
Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist in der Regel eine Funktion dritten Grades: [math]K(x)=a_3\cdot x^3+a_3\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math] Speichere den Prototyp [b][color=#1e84cc]K(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+a0[/color][/b] mit Geogebra ab.[br]Folgende Bedingungen lassen sich aus dem Text entnehmen:[br][list=1][*]Die Fixkosten sind [math]K_{fix}=500[/math], also ist [math]K(0)=500[/math]. [/*][*]Das Betriebsoptimum ist [math]x_{BO}=10[/math] und die Langfristige Preisuntergrenze ist [math]LPUG=95[/math]. Daraus folgen zwei Bedingungen: Im Betriebsoptimum schneiden sich [math]k(x)[/math] und [math]K'(x)[/math] im Punkt [math](x_{BO}|LPUG)[/math]. Daraus folgt [math]k(10)=\frac{K(10)}{10}=95[/math] [/*][*]und [math]K'(10)=95[/math][/*][*]Schließlich gilt an der Kapazitätsgrenze: [math]k(20)=245\;\Rightarrow K(20)=245\cdot 20 = 4900[/math][br][/*][/list][b]Lösung mit Geogebra[/b]: Der Prototyp wurde oben als [color=#1e84cc]K(x)[/color] abgespeichert:[br][color=#1e84cc][b]löse({K(0)=500, K(10)/10=95, K'(10)=95, K(20)=4900},{a3,a2,a1,a0})[/b][/color][br]Daraus folgen die Koeffizienten: [math]a_3=\frac{5}{4}[/math], [math]a_2=-20[/math], [math]a_1=120[/math] und [math]a_0=500[/math].[br]Das heißt die Kostenfunktion lautet: [math]\underline{\underline{K(x)=\frac{5}{4}\cdot x^3-20\cdot x^2+120\cdot x+500}}[/math]