Traçar à reta perpendicular a um segmento [math]\overline{AB}[/math] que passa por um ponto [math]C[/math] fora desse segmento.

1. Seja um segmento de reta [math]\overline{AB}[/math] e um ponto [math]C[/math] fora desse segmento.[br][br]2. Seja [math]D[/math] um ponto pertencente ao segmento [math]\overline{AB}[/math].[br][br]3. Trace um círculo de raio [math]\overline{CD}[/math] e centro [math]C[/math].[br][br]4. Marque [math]E[/math] o outro ponto de interseção do círculo com o segmento.[br][br]5. Use o compasso e trace dois círculos centrados nos ponto [math]D[/math] e [math]E[/math], e raio maior que a metade de [math]\overline{DE}[/math].[br][list][*]no applet abaixo, utilizamos o raio [math]\frac{\overline{DE}+1}{2}[/math].[/*][/list][br]6. Marque [math]F[/math] e [math]G[/math] os pontos de interseção desses dois círculos.[br][br]7. Trace a reta [math]s[/math], ligando os pontos [math]F[/math] e [math]G[/math], reta essa perpendicular ao segmento [math]\overline{AB}[/math] e passa pelo ponto [math]C[/math], como queríamos construir.[br]

Seja [math]H[/math] o ponto de interseção de [math]\overline{AB}[/math].[br][br]Por serem círculos de mesmo raio, temos que [math]\overline{EF}=\overline{DF}=\overline{EG}=\overline{DG}[/math], fazendo de [math]\Delta DEF[/math] isósceles.[br][br]Sabemos que os ângulos de triângulos isósceles são congruentes, logo:[br][center][br][math]D\widehat{E}F=[/math][math]E\widehat{D}F[/math][br][/center]Pelo critério de congruência LLL temos que [math]\Delta DFG[/math] e [math]\Delta EFG[/math] são congruentes, de modo que:[br][br][center][math]E\widehat{F}G[/math][math]=[/math][math]D\widehat{F}G[/math][/center]Assim temos que os triângulos [math]\Delta EFH[/math] e [math]\Delta DFH[/math] são congruentes pelo critério ALA.[br][br]Por esse motivo temos [math]D\widehat{H}F=E\widehat{H}F[/math][math]=90º[/math], fazendo com que [math]\overline{FG}[/math] seja perpendicular ao segmento [math]\overline{ED}[/math] e, consequentemente ao segmento[math]\overline{AB}[/math].[br][br]Para mostrar que essa perpendicular passa pelo ponto [math]C[/math], basta reparar que [math]\Delta CDE[/math] também é isósceles, pois [math]\overline{CD}[/math] e [math]\overline{CE}[/math] são raios de um mesmo círculo, logo, os ângulos de sua base também são congruentes:[br][br][center][math]C\widehat{D}E[/math][math]=[/math][math]C\widehat{E}D[/math][/center]Como já sabemos que [math]\overline{DH}=\overline{EH}[/math], temos pelo critério de congruência LAL que os triângulos [math]\Delta CDH[/math] e [math]\Delta CEH[/math] também são congruentes, fazendo [math]\overline{CH}[/math] uma perpendicular de [math]\overline{AB}[/math].[br][br]Assim, usamos a informação de que por um ponto de uma reta se passa apenas [math]1[/math] perpendicular, para concluir que a reta [math]s[/math] é a perpendicular de [math]\overline{AB}[/math] que passa pelos pontos [math]C[/math], [math]F[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math].[br][br]