Die Integralrechnung wurde auf zwei Wegen entdeckt. Zum einen über ihren Zusammenhang mit der Differentialrechnung, was vor allem mit den Mathematikern [url=https://wikiless.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz?lang=de]Gottfried Wilhelm Leibniz[/url] und Sir [url=https://wikiless.org/wiki/Isaac_Newton?lang=de]Isaac Newton[/url] verbunden wird. Einen ganz anderen Ansatz verfolgte [url=https://wikiless.org/wiki/Bernhard_Riemann?lang=de]Bernhard Riemann[/url], der sich der Frage widmete, wie sich die [b]Fläche[/b] zwischen einem Funktionsgraphen und der Abszisse berechnen lässt.[br]In der Abbildung unten ist beispielhaft die Funktion [math]f(x)=x^2[/math] gezeigt. Die Frage von Riemann war, wie man zum Beispiel die grün Markierte Fläche berechnen könne.

Die geniale Idee von Riemann war, die Fläche in senkrechte Streifen gleicher Breite zu unterteilen und die Fläche all dieser Streifen am Ende zu summieren. [br]Die Höhe eines jeden Streifens ist durch einen Funktionswert der Funktion [math]f(x)[/math] gegeben und die Breite ist die Breite der betrachteten Fläche [math]b[/math] geteilt durch die Anzahl der Streifen [math]n[/math], also [math]dx=\frac{b}{n}[/math]. Dabei können die Streifen gewählt werden, die sich gerade eben unter dem Funktionsgraphen befinden (Untersumme) oder es werden die Streifen summiert, die gerade eben über den Graphen hinausragen (Obersumme).[br]Natürlich ist dies nur eine Näherung der tatsächlichen Fläche, aber man kann mathematisch auch unendlich viele Streifen berechnen. Dann wird die Streifenbreite [math]dx[/math] unendlich dünn und die Flächenbestimmung sogar exakt.[br]In dem Geogebra-Arbeitsblatt unten kann das einmal ausprobiert werden. Es lassen sich die Untersumme, die Obersumme und das Integral einblenden, die Flächeninhalte vergleichen und die Balkenanzahl kann erhöht werden:

[size=150]Mit der Schreibweise [math]\int f(x)\,dx[/math] wird also angedeutet, dass über unendlich viele unendlich dünne Streifen mit der Fläche [math]f(x)\cdot dx[/math] summiert wird. Das [color=#980000][b]Differential[/b][/color] [math]dx[/math] steht für die [b]Streifenbreite[/b]. Das Integralzeichen [math]\int[/math] erinnert an das [color=#980000][i][b]S[/b][/i][/color] im Wort [color=#980000][i][b]S[/b][/i][/color]umme.[br][/size][size=100][size=150][br]Das Erstaunliche ist, dass bei diese[/size][size=150]m Ansatz als [b][i]Flächenberechnungsfunktionen[/i][/b] genau die [i][b]Stammfunktionen[/b][/i] herauskommen, die Newton und Leibnitz über die Umkehrung der Differentialrechnung erhalten[/size][size=150] haben. Wie das mit dem Berechnen der Flächen genau geht, dass erfahren Sie im nächsten Kapitel.[/size][/size]

Die Riemann'schen Streifenmethode zur Berechnung der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der Abszisse hat noch eine wichtige Folge: Da die unendlich dünnen Streifen die Fläche [math]f(x)\cdot dx[/math] haben und [math]dx[/math] größer als Null ist, folgt daraus:[br][b][size=150]Flächen, die unterhalb der Abszisse liegen, sind [color=#980000]negativ[/color]. Bei einem Integral über positive [i]und[/i] negative Funktionswerte erhält man als Ergebnis also eigentlich keine Fläche, sondern eine [color=#980000]Flächenbilanz[/color].[/size][br][/b]Im Arbeitsblatt unten, kann das ausprobiert werden: