Die Berechnung von Mittelwerten von Größen erfordert immer Summenbildung: Man addiert alle Elemente auf und dividiert anschließend durch die Anzahl der Elemente, man erhält den Mittelwert, das arithmetische Mittel.[br][br]Kern der Integralrechnung ist ebenfalls eine Summenbildung. Es liegt also nah, zu untersuchen welche Zusammenhänge bestehen (könnten).[br][br]Diesen Zusammenhang beschreibt der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Blenden Sie auf dem Applet unten das Integral über die Funktion f zwischen den Grenzen a und b ein. Spielen Sie mit den Grenzen und verändern Sie so den Wert dieses bestimmten Integrals (Fachsprache: bestimmtes Integral - Integral mit festen unteren und oberen Grenzen a und b)[br][br]a) Finden Sie nun eine Rechteckfläche mit der Kantenlänge b-a, die größer ist als das Integral. Welche Länge, muß die andere Seite des Rechtecks haben, sprich, welchen Funktionswert nehmen Sie dafür? Geben Sie die Formel für diese Fläche an[br]b) Entsprechend: welchen Funktionswert nehmen Sie für eine Rechteckfläche, die garantiert kleiner ist als der Wert des Integrals? Wie groß ist diese Fläche? - Formel?[br](Hilfe: Blenden Sie Extrema ein)
a) Man nimmt das absolute Maximum der Funktion. Wenn man den entsprechenden Funktionswert M nennt, dann ist diese Fläche: M(b-a)[br]a) Man nimmt das absolute Mnimum der Funktion. Wenn man den entsprechenden Funktionswert m nennt, dann ist diese Fläche: m(b-a)[br]--> Achtung: Randextrema nicht vergessen![br][br]Der Wert des Integrals muß zwischen diesen beiden Werten liegen. Dies drückt die folgende Ungleichung aus:[br] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br]
Der Wert des Integrals muß als zwischen dem Rechteck über [a|b] und dem asoluten Minimum und dem Rechteck über [a|b] und dem asoluten Maximum als Kante liegen:[br] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br]Nun ist die Funktion auch stetig (hat keine Definitionslücken), bzw. muß stetig sein. Also gibt es zwischen dem absoluten Maximum M und dem absolute nMinimum m alle Zwischenwerte von f(x). [br][br]Wenn der Wert des Integrals wie oben beschrieben zwischen diesen beiden Extremen lieg und es alle Zwischenwerte gibt, dann muß es auch ein Rechteck geben, das genau die gleiche Fläche wie das Integral hat. [br][br]Es muß also ein Argument [math]\xi[/math] geben für dessen Funktionswert [math]f\left(\xi\right)[/math] die Fläche [math]f\left(\xi\right)\cdot\left(b-a\right)[/math] genau gleich dem Wert des Integrals ist. Das nennt man den Mittelwertsatz der Integralrechnung:[br][br] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br]
Es gibt ein Rechteck der Kantenlänge b-a mit der zweiten Kantelänge die durch irgend einen Funktionswert auf der Grenzkurve gegeben ist, dessen Fläche genau gleich dem Wert des Integrals ist.
Das Integral summiert alle Werte [math]f\left(x\right)\cdot dx[/math] zwischen a und b auf. b-a ist die Summe aller dx. Wenn ich nun durch b-a dicidiere, bedeutet das, daß [math]f\left(\xi\right)[/math] der Mittelwert der Funktion auf [a|b] ist. Denn genau so bildet man das arithmetische Mittel: alles aufsummieren, dann durch Anzahl teilen. [br][br]Man kann also den mittleren Funktionswert auf einem Intervall berechnen mit:[br][br] [img]data:image/png;base64,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[/img]
Man kann nun also auf einfache Weise den Mittelwert einer beliebigen kontinuierlichen Größe auf einem Intervall [a|b] berechnen, indem man das Integral über die Größe auf diesem Intervall berechnet und dann durch die Intervallänge dividiert. Praktische Sache und in der oben stehen Form gut zu merken. [br][br]Man könnte in gewisser Weisean Stelle von [math]f\left(\xi\right)[/math] auch [img]data:image/png;base64,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[/img] [code][/code]schreiben .