A colostok valaha ott volt minden szerszámos kamrában. Manapság kevés gyereknek kerül a kezébe, pedig ... kiválóan lehetett vele "tanulmányozni" az alábbi problémát.

Készítsünk olyan GeoGebra fájlt, amely előállítja az összes egyenlő oldalú ötszöget (egyenlő oldalú zárt síkbeli ötszögvonalat)!

Lényegében egy öt egyenlő szakaszból álló síkbeli csuklós szerkezetet kell vizsgálnunk.[br][br]Mivel az így kapott ötszögvonal szögei változhatnak, nyilvánvalóan végtelen sok megoldása lesz a feladatnak. Így hát állapodjunk meg abban, hogy az egybevágó, valamint az egymásba folytonos mozgással átvihető alakzatokat ne tekintsük különbözőnek. Így az[i] egyszerű - önátmetsző[/i] tulajdonság se tegyen különbséget két alakzat között.[br][br]Az[i] ABCDE[/i] egyenlő oldalú ötszög [i]A[/i] és [i]B[/i] csúcsát rögzítve a [i]D [/i]csúcsot - megfelelő határok között - mozgatva, a [i]C[/i] és [i]E[/i] csúcs megszerkeszthető. Ha [i]AB=1[/i], akkor a [i]BD[/i] és [i]DA[/i] távolság legfeljebb 2, tehát a [i]D[/i] pontnak belül kell lennie két, A ill. B középpontú 2 sugarú körön. [br][br]A szerkesztést tervezve hamar rájöhetünk, hogy az egyenlő sugarú körök két-két pontban metszik egymást, és ezek közül választanunk kell. Ha a[i] BCD [/i]∢ ,a [i]DEA ∢[/i] -vagy mindkettő egyenes szöggé válik, akkor (újra?) ki kell jelölnünk, hogy a [i]C[/i] ill. [i]E[/i] pontokat meghatározó körök metszéspontjai közül melyiket vegyük figyelembe. [br][br]Azt, hogy pl. a [i]BD=2[/i] azaz [i]BCA [/i]∢ =180° esetet jelentő holtpontról melyik irányban mozduljon ki a[i] C[/i] pont, egy ekkor megjelenő [b]B?D [/b]kapcsolóval állíthatjuk át. Az eredményt a szakaszok színe is jelzi. Ugyanígy az [i]E [/i]pontot a [b]D?A [/b]kapcsolóval lendíthetjük át a holtponton egyik, vagy másik irányba.[br]

Úgy tűnhet, a "holtpont-kapcsolók" alkalmazásával négy különböző alakzat állítható elő. Valójában csak kettő, mivel az [i]AB[/i] egyenesre ill. az [i]A[/i] és[i] B[/i] pontok szimmetriatengelyére tükrözve a kapott alakzatok tükörképe is előállítható. Ha e kapcsolók logikai értéke azonos, akkor előáll a konvex- és a csillagötszög is, ha ellentétes, akkor nem.[br][br]Van egy figyelmet érdemlő "trükk", a fenti appletben: a [i]D[/i] pont nem "megy ki" a megoldást adó helyzetéből. [br]Pólya György szerint a módszer olyan fogás, amit kétszer alkalmazunk. Aki kíváncsi erre a fogásra, [url=https://www.geogebra.org/m/ppuafyq9]itt megtekintheti.[br][br][/url]Több irányba is tovább lehet gondolni ezt a kiindulásul vett problémát: [br][list][*]Hogyan kellene megválasztanunk a [i]D[/i] pontot ahhoz, hogy megkapjuk a konvex, ill. önátmetsző szabályos ötszöget?[/*][*]Hogyan értelmezhetők az így kapott - olykor önátmetsző - alakzat belső ill. külső szögei, ezek között milyen kapcsolat van? [/*][*]Van-e ezek között olyan, amely egybevágó példányaival hézagmentesen lefedhető - kiparkettázható - a sík? (Erre találunk is példát: az un. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cairo_pentagonal_tiling]kairói parketta[/url] - amelyet egy [url=http://www.tess-elation.co.uk/cairo-tiling]kairói utcakő[/url] láttán nevezett el valaki - olyan ötszög, amelyet pl. úgy állítunk elő, hogy egy egyenlő szárú háromszög száraira - kifelé - építünk egy-egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget. )[/*][/list][br]Ezek helyett most egyetlen problémát járunk körbe: [u][i]Ugyanez a szerkesztés mit eredményezne a gömbön?[/i][/u][br]

... és mi nem, ha a sík helyett a gömbön végezzük el - szándékaink szerint ugyanúgy - ezt a szerkesztést?[br][br][list][*]Először is: az eddig fixnek tekintett [i]A [/i]és [i]B [/i]pont távolsága a gömbfelületen másképpen "viselkedhet" a G-modell alapgömbjéhez viszonyítva. A - fokokban mért - távolságuk felülről is korlátos. Itt egy csúszkával adhatjuk meg, amely 6 fokonként változtatható. [br][i]Az AB[/i] G-szakasz legkisebb értékét itt [i]φ=6°[/i]-nak választottuk. Könnyen belátható, hogy minél kisebbre választjuk, annál jobban hasonlít a probléma a síkbeli esethez.[/*][/list][list][*]A [b]□ [i][size=85]Szerkesztés[/size][/i][/b] -t bekapcsolva megjelenítettük a [i]D[/i] pont mozgathatóságának a határát is. Figyeljük meg, hogy ez miként változik [i]φ [/i]növelésével. [br][br][/*][*]A [i]C[/i] és [i]E[/i] pontban lévő "csukló" megváltoztatása nem csak a holtpont elérésekor válik lehetővé.[br][br][/*][*]Lehet látni a gömbön egy, ill. két (barna) pontot. Ezekhezz [i]D[/i]-vel közelítve kapjuk meg a szabályos ötszög két esetét. Figyeljük meg hogy [i]φ=72°[/i] esetében a konvex szabályos G-ötszög pontjai egy G-egyenesre illeszkednek, így ennél nagyobb oldalhosszú konvex szabályos G-ötszög nem létezhet. Ugyanez következik be a szabályos csillagötszög esetén φ=144°-nál. Így ezt az értéket tekintjük a vizsgálódásunk felső határának.[br][br][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/szvnn79m]Itt volt szó [/url]a G-háromszögek poláris G-háromszögeiről. A polaritás fogalma ötszögekre is kiterjeszthető. A vizsgált G-ötszögeink G-oldalegyeneseihez (nem csak a szabályosakhoz) rendre - vagyis az ötszög oldalainak sorrendjében - hozzárendelhető két -két pólus, ezek meghatároznak két[url=https://www.geogebra.org/m/szvnn79m] [i]poláris ötszöget[/i] [/url] -ezek egymás átellenes ötszögei, amelyeknek a szögeik lesznek egyenlők. Ezek láthatósága a ↶ és ↷ jelek feletti jelölőnégyzetekkel kapcsolhatók ki-be. Az [i]ABCDE[/i] G-ötszög oldalai és a poláris G-ötszögek szögei 180°-ra egészítik ki egymást. Így ha ABCDE szabályos, akkor a polárisa is az.[br][br][/*][*]Külön említést érdemel - mi több: emiatt készült ez az egész munka - a [b][i]φ=90°[/i][/b] eset. [br][/*][/list]

Shakespeare korában, 1614-ben tette közzé [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/John_Napier_(matematikus)]John Napier[/url] (1550-1617) azt a munkáját, amely a logaritmus függvény alkalmazási lehetőségeinek a leírása mellett közli az [u]első [/u] számolást segítő logaritmustáblát.[br]Ugyanitt leírta a gömbre kifeszített derékszögnyi oldalú csillagötszögnek - a fenti appletben [b]φ=90°[/b] -hoz tartozó - jelenséget is.[br]Eszerint az ötszög csúcsaira illeszkednek a poláris ötszögének - melynek a szögei derékszögek - az oldalegyenesei.[i] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagramma_mirificum]Pentagrama Mirificum[/url]. [/i] Tőle származik ez az elnevezés.

Reméljük, hogy a [i]φ=90°[/i]-hoz tartozó konstrukcióban számos, valóban csodálatosan szép összefüggésre derítenek fényt figyelmes, kísérletező kedvű olvasóink. Ráadásul ezek jórészt akkor is érvényesek, ha az eredeti csillagötszög nem feltétlenül szabályos. [br][br]Nézzük a részleteket:[br][list][*][b][color=#9900ff][i]Pentagramma mirificum[/i][/color][/b] felirattal együtt megjelent a képernyő bal oldalán a [b]□ [i][size=50][size=85]Átló egyenesek [/size][size=85][/size][/size][/i][/b] kétállapotú kapcsoló, amellyel bekapcsolhatók az[i] ACEBD [/i]ötszög egyenesei. Ha ABCDE szabályos csillagötszög, az átlói konvex szabályos ötszöget zárnak közre. [br][br][/*][*]Két, közös kezdőpontból induló kvadrát (negyed körívnyi G-szakasz) közös kezdőpontjának a polárisa illeszkedik e szakaszok másik végpontjaira, és merőleges ezekre a szakaszokra. Vagyis a [i] [/i][i]φ=90° [/i]élhosszú ötszögek egy csúcsra illeszkedő oldalai és átlói merőlegesek egymásra: keletkezett a konstrukción 5*2 =10 derékszög függetlenül attól, hogy ABCDE szabályos-e. [br][br][/*][*]Ugyanekkor, mivel a kvadrát végpontjaira állított merőlegesek egymásra is merőlegesek ez további 2*5 derékszöget jelent. Ez utóbbiak alkotják az [i]ABCDE[/i] ötszög poláris ötszögeinek a csúcsait.[/*][/list][br][list][*]Mivel, ha egy G-háromszög mindhárom szöge derékszög, akkor oldalai kvadrátok, ezért az ABCDE ötszög minden csúcsára illeszkedik az oldalain túl még két-két kvadrát (amelyek közül mindig kettő-kettő illeszkedik a poláris ötszög egy-egy oldalegyenesére Így, ha az ABCDE ötszög mellett bekapcsoljuk a két duális ötszög láthatóságát is, akkor összesen 5+2*(2*5) =[b]25[/b] dinamikusan mozgatható[b] [/b]kvadrát,[b] [/b] (azaz negyed körívnyi gömbi szakasz) látható.[/*][/list]Nos, ezt tartotta Napier - de például Gauss is - csodálatosnak. És igazuk volt!