Bei ganzrationalen Funktionen kamen wir zu dem Ergebnis, dass Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt, wenn nur ungerade Exponenten auftreten, und dass Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, wenn nur gerade Exponenten auftreten.[br][br]Wer das noch einmal verstehen möchte, kann [url=https://www.geogebra.org/m/Xm9z82yx]hier klicken[/url], um es zu wiederholen.[br][br]Bei gebrochen-rationalen Funktionen gilt [color=#ff0000]dieselbe Regel [/color][u][color=#ff0000]nicht[/color]![/u] Allerdings führt [color=#ff0000]aber dieselbe Überlegung[/color] wie bei ganzrationalen Funktionen auch hier zum Ziel.[br][br]Betrachten Sie die folgenden Wertetabellen. Die y-Werte auf der linken Seite dieser Tabellen sind nicht korrekt (da alles Nullen). Tragen Sie die richtigen y-Werte [u]ohne zu rechnen[/u] ein, indem Sie sie aus den y-Werten der rechten Tabellenseite erschließen.[br][br]Erkunden Sie auf diese Weise zunächst die Symmetrie der ersten beiden (ganzrationalen) Funktionen. Die dritte Funktion ist gebrochen-rational und enthält die beiden ersten Funktionen als Nenner bzw. Zähler. Verwenden Sie nun die Ergebnisse der ersten beiden Tabellen, um [u]ohne zu rechnen[/u] die y-Werte der linken Seite aus denen der rechten Seite zu erschließen.

Die gebrochen-rationale Funktion f muss also punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Wir sehen also allgemein:[br][br]Ist der Zähler achsensymmetrisch zur y-Achse (A) und der Nenner punktsymmetrisch zum Ursprung (P), so ist die gebrochen-rationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (P).[br][br]Entsprechende Überlegungen kann man auch für andere Symmetrien von Zähler und Nenner anstellen. Als Ergebnis halten wir in Kurzschreibweise fest:[br][br] [math]\frac{A}{P}=P[/math] ; [math]\frac{P}{A}=P[/math] ; [math]\frac{P}{P}=A[/math] ; [math]\frac{A}{A}=A[/math][br][br]Ist von [color=#ff0000]Zähler oder Nenner[/color] schon einer von beiden [color=#ff0000]ohne Symmetrie[/color] (oder auch beide), so liegt auch in bei der [color=#ff0000]gebrochen-rationalen Funktion keine Symmetrie[/color] vor.

Es geht natürlich nicht darum, diese "Formeln" wie ein Papagei auswendigzulernen. Viel wichtiger ist, den Gedanken verstanden zu haben, der zu diesem Ergebnis geführt hat.[br][br]Man muss auch in der Lage sein, rechnerisch exakt eine Symmetrie nachzuweisen. Wir wissen bereits: [br][br] Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math].[br] Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math][br][br]Deshalb lässt sich eine Symmetrie rechnerisch nachweisen, indem man für x nun -x einsetzt in f. Versuchen wir dies einmal mit unserem Beispiel von oben:[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{2x^3-x}[/math] : [math]f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2-3}{2\left(-x\right)^3-\left(-x\right)}=\frac{x^2-3}{-2x^3+x}=\frac{x^2-3}{-\left(2x^3-x\right)}=-\frac{x^2-3}{2x^3-x}=-f\left(x\right)[/math][br][br]Auch hier kommen wir zu dem Ergebnis, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.[br][br][br][b][color=#ff0000]Beachten Sie:[/color] [/b]Die letzte Rechnung ist eigentlich genau derselbe Gedanke, wie wir ihn oben bei den Wertetabellen durchgeführt haben. Beide Male haben wir untersucht, wie sich der errechnete Funktionswert ändert, wenn wir statt einem x (rechte Seite der Tabelle) das entsprechende -x (linke Seite der Tabelle) einsetzen.