centrale limietstelling (normaal verdeelde populatie)

steekproevenverdeling

[list][*]Een populatie van N waarden is normaal verdeeld met gemiddelde [math]\mu[/math] en standaardafwijking [math]\sigma[/math]. [br]In het applet kan je deze drie waarden aanpassen in de invulvakken.[/*][*]Uit deze populatie neem je een aantal steekproeven, telkens met steekproefgrootte [i]n[/i].[br]Van deze steekproeven bereken je telkens de gemiddelde waarde en hiervan stel je een histogram op.[br]Dit histogram noemt men de [i][b]steekproevenverdeling[/b][/i].[br]Van deze steekproeven verdeling kan je opnieuw het gemiddelde en de standaardafwijking berekenen.[/*][/list]Onderstaand applet toont [br][list][*]de [b][color=#0000ff]populatieverdeling[/color][/b][/*][*]de [b][color=#9900ff]steekproevenverdeling[/color][/b][/*][*]het gemiddelde en de standaardafwijking van de steekproevenverdeling.[/*][/list]Wijzig de schuifknoppen voor de [i]steekproefgrootte n[/i] en van het [i]aantal genomen steekproeven[/i].[br]Vergelijk nu het gemiddelde en de standaardafwijking van de steekproevenverdeling met de waarden van de populatie.

vorm van de steekproevenverdeling

Als de steekproefgrootte voldoende groot is (meestal neemt men n [math]\ge[/math] 30) vind je dat het histogram van de [b][color=#9900ff]steekproevenverdeling [/color][/b]heel sterk de normale verdeling benadert. Maar wat kan je zeggen over het gemiddelde en de standaardafwijking van deze steekproevenverdeling?

gemiddelde

Bij het nemen van N steekproeven met steekproefgrootte n is het gemiddelde van alle steekproefgemiddelden

duidelijk kleiner dan het populatiegemiddelde [math]\mu[/math]. duidelijk groter dan het populatiegemiddelde [math]\mu[/math]. op een afronding na gelijk aan het populatiegemiddelde [math]\mu[/math].

standaardafwijking

Neem je N steekproeven en verhoog je het de steekproefgrootte dan

wordt de standaardafwijking van de gemiddelden van de N steekproeven steeds kleiner. wordt de standaardafwijking van de gemiddelden van de N steekproeven steeds groter. blijft de standaardafwijking van de gemiddelden van de N steekproeven gelijk aan de standaardafwijking [math]\sigma[/math] van de populatie.

besluit

Je herhaalt een steekproef en bekijkt de steekproevenverdeling. Wat kan je besluiten over[br][br][list][*]het gemiddelde van de steekproevenverdeling bij een voldoende steekproefgrootte?[/*][/list]

[list][*]de standaardafwijking van de steekproevenverdeling bij een voldoende steekproefgrootte?[/*][/list]

Besluit

De steekproevenverdeling van een populatie is steeds normaal verdeeld. In de praktijk ga je nooit bv. 1000 steekproeven nemen om daaruit de steekproevenverdeling te bepalen. [br]Met een gegeven steekproefgrootte kan je de steekproevenverdeling bepalen als een theoretische normaalverdeling. En vermits we in een normale verdeling kansen kunnen berekenen, kunnen we de centrale limietstelling gebruiken om de waarschijnlijkheid van een willekeurige steekproefgemiddelde te berekenen.