[b][size=100][size=150][br]＜３乗展開＞[/size][/size][/b][br](a+b)の３乗は、(a+b)(a+b)(a+b)の展開になる。[br](左)(中)(右)の()の中をaかbを選んでかける。[br]aaaは＋の前だけ選び１通り、bbbは＋の後ろだけで１通り。[br]aab左か中か右のどれかでｂを１回選ぶから３通り、[br]abbも同じ理由で３通り。[color=#0000ff]だから、[br][/color](a+b)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup][color=#0000ff][u]+3[/u][/color]a[sup]2[/sup]b[u][color=#0000ff]+3[/color][/u]ab[sup]2[/sup]+b[sup]3[/sup][color=#0000ff][br]bに-bを代入すると、ｂの奇数次だけ符号が変わる。[/color][color=#0000ff]だから、[br][/color](a-b)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup][color=#0000ff]-[/color]3a[sup]2[/sup][color=#0000ff]b[/color]+3ab[sup]2[/sup][color=#0000ff]-b[sup]3[/sup][br][/color][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]a=x,b=1とすると、[math]\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1[/math]、[math]\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2+3x-1[/math][br][/size][size=100][size=150][b]＜２項定理＞[br][/b][/size][/size](a+b)のn乗の展開式をaの降下べきの順にならべると、[br]係数は[color=#0000ff][b][size=150][u]パスカルの三角形[/u][/size][/b][/color]と同じになる。[br]１乗：１，１[br]２乗：１，２，１[br]３乗：１，３，３，１[br]４乗：１，４，６，４，１[br]５乗：１，５，10，10，５，１[br]６乗：１，６，15，20，15，６，１[br][color=#0000ff][b][u]bの指数がr,aの指数がn-rになるときの係数はnCr[/u][/b][/color]である。[br]これを[color=#0000ff][2項係数(binomial coefficients)][/color]という。[br][color=#0000ff][b][u][size=150]aとｂの指数の和＝ｎに着目しよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]理由はbがr乗になるのは、n個のカッコからbをｒ個選ぶ組み合わせと等しく、[sub]ｎ[/sub]C[sub]r[/sub]になるから。[br]ｎ乗：nC0=1,nC1=n,nC2,........,nCn-1=n,nCn=1となり、[b]一般項は[/b][sub][i]n[/i][/sub][b]C[/b][sub][color=#0000ff][i][b]r[/b][/i][/color][b] [/b][/sub][b]a[/b][sup][i]q[/i][/sup][b]b[/b][sup][color=#0000ff][i]r [/i][/color][/sup][color=#0000ff]([i]q+r=n[/i])[/color][br][color=#0000ff]（例）[/color](x+1)[sup]20[/sup]の展開式のｘ[sup]17[/sup]の係数は？[sub]20[/sub]C[sub]20-17[/sub]=20･19･18/3![br][color=#0000ff]（例）[/color](x+1/2)[sup]8[/sup]の展開式のx[sup]6[/sup]の係数は？ 8C[sub]8-6[/sub](1/2)[sup]8-6[/sup]=28･1/4=7[br][color=#0000ff]（例）[/color]「101[sup]100[/sup]の下5けたの数字列」は？10001[br] 　（理由）x=100とするとx[sup]3[/sup]=1000000だから、(x+1)[sup]100[/sup]の展開式のｘの指数が2以下の係数だけ求める。[br]　　x[sup]2[/sup]の係数100C2=100･99/2=4950, xの係数100C1=100,定数項1。[br]　　49500000+10000+1=49510001の下5けたが1001だから。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「nC[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+......+nC[sub]n[/sub][sup]2[/sup]=2nCn」となる理由は？[br]　（実験してみる）(x+1)[sup]6[/sup]=(x+1)[sup]3[/sup](x+1)[sup]3[/sup]でx[sup]3[/sup]の係数は6C3=3C0×3C3+3C1×3C2+3C2×3C1+3C3×3C0[br]　　　3C[sub]3-i[/sub]=3C[sub]i　[/sub]これから、3C[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]2[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]3[/sub][sup]2[/sup]=6C3[br] （一般化する）(x+1)[sup]2n[/sup]=(x+1)[sup]n[/sup](x+1)[sup]n[/sup]でx[sup]n[/sup]の係数は2nCn=nC0×nCn+nC1×nCn-1.....+nCn×nC0[br]　　　nC[sub]n-i[/sub]=nC[sub]i　[/sub]これから、nC[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+......+nC[sub]n-1[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]n[/sub][sup]2[/sup]=2nCn[br][color=#0000ff]（例）[/color]「1997[sup]1997[/sup]を９で割ったあまり」は？[br]　9の倍数の1998=xとすると、(x-1)[sup]1997[/sup]の展開式のｘの指数が１以上なら９で割り切れるから、[br]　定数項を求めれば良い。(-1)[sup]1997[/sup]=-1。-1≡9-1=8（mod9）から８。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「2nC[sub]0[/sub]+2nC[sub]2[/sub]+......+2nC[sub]2n[/sub]」は？[br]　（実験してみる）(x+1)[sup]6[/sup]の展開のx[sup]0[/sup],x[sup]2[/sup],x[sup]4[/sup],x[sup]6[/sup]の係数の和1+15+15+1=32。残りの係数の和6+20+6=32。[br]　　32+32=64=(1+1)[sup]6 [/sup]ｘの偶数指数の係数とｘの奇数指数の係数が等しいから、2[sup]6[/sup]÷２になる。[br]　　または、(1+x)5の係数1,5,10,10,5,1を使って、[br]　　パスカルの三角形を意識して(1+x)6の偶数指数の係数和を作ると1+(5+10)+(10+5)+1になる。[br]　　どちらにしても2[sup]5[/sup]=32[br] （一般化する）(x+1)[sup]2n[/sup]の展開のｘの偶数指数の和になり、(x+1)[sup]2n-1[/sup]の全指数和[br]　　になるから、x=1を代入して、(1+1)[sup]2n-1[/sup]=2[sup]2n-1[br][/sup] （ちなみに、(x+1)2nの展開式にx=1を代入した場合とｘ=−1を代入した場合を比較する方法もある。）[b][size=150][br]＜多項定理＞[/size][/b][br](a+b+c)[sup]n[/sup]の展開式の一般項はK a[i][sup]p[/sup][/i]b[i][sup]q[/sup][/i]c[i][sup]r[/sup][/i] (p+q+r=n) [math]K=\frac{n!}{p!q!r!}[/math][br]（理由）K＝[i]n[/i]C[i]p[/i]・[sub]([i]n-p)[/i][/sub]C[i][sub]q[/sub][/i]となる。[br]n個のカッコからaをp個選び、残ったカッコからbをq個を選べばよいから。[br]あとは式変形で、[br][br][math]nCp・_{\left(n-p\right)}Cq=\frac{nPp}{p!}\cdot\frac{_{n-p}P_q}{q!}=\frac{n!}{\left(n-p\right)!p!}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p-q\right)!q!}=\frac{n!}{p!q!\left(n-p-q\right)!}=\frac{n!}{p!q!r!}[/math][br]（例）(1+x+x[sup]2[/sup])[sup]9[/sup]の展開式のx[sup]3[/sup]の係数は？[br]a=x[sup]0[/sup],b=x[sup]1[/sup],c=x[sup]2[/sup]として、x[sup]3[/sup]=a[sup]p[/sup]b[sup]q[/sup]c[sup]r[/sup](p+q+r=9)となるのは、[br]3=0･p+1･q+2･rのとき。q,rを先に決めてpも求めると、[br]p,q,r=(6,3,0),(7,1,1)の２通り。[math]\frac{9!}{6!3!0!}+\frac{9!}{7!1!1!}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}+\frac{9\times8}{1}=84+72=156[/math]

[size=150][b]＜３乗和＞[br][/b][/size] [math]\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3[/math][br][color=#0000ff]３乗和の因数分解[/color]公式として、[math]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)[/math][br]（理由）[math]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)[/math]を利用する。[br]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]=(a+b)[sup]3[/sup]-3ab(a+b)=(a+b)((a+b)[sup]2[/sup]-3ab)=(a+b)(a[sup]2[/sup][i][color=#0000ff]+(2-3)ab[/color][/i]+b[sup]2[/sup])=(a+b)(a[sup]2 [/sup][u][i][color=#0000ff]-ab[/color][/i][/u]+b[sup]2[/sup])[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]x[sup]3[/sup]+1=(x+1)(x[sup]2[/sup]-x+1)[/size][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]2(a+b)[sup]3[/sup]-a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup]の因数分解は？[br][/size][size=100]2(a+b)[sup]3[/sup]-(a+b)(a[sup]2[/sup]-ab+b[sup]2[/sup])=(a+b)(2(a+b)[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup]+ab-b[sup]2[/sup])=(a+b)(a[sup]2[/sup]+5ab+b[sup]2[/sup])[/size][b][br]＜３乗差＞[/b][/size][br] [math]\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3[/math][br][color=#0000ff]３乗差の因数分解[/color]公式として、[math]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/math][br]（理由）[math]\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)[/math]を利用する。[br]a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup]=(a-b)[sup]3[/sup]+3ab(a-b)=(a-b)((a-b)[sup]2[/sup]+3ab)=(a-b)(a[sup]2[/sup][i][color=#0000ff]+(-2+3)ab[/color][/i]+b[sup]2[/sup])=(a-b)(a[sup]2 [/sup][u][color=#0000ff]+[i]ab[/i][/color][/u]+b[sup]2[/sup])[br][color=#0000ff]または、上式のbに-bを代入すると、ｂの奇数次だけ符号が変わる。[br][/color][color=#0000ff]（例）[/color]x[sup]3[/sup]-1=(x-1)(x[sup]2[/sup]+x+1) [color=#0000ff]（例）[/color] a[sup]6[/sup]-64b[sup]6[/sup]の因数分解は？[br]　　x=a[sup]3[/sup], y=8b[sup]3[/sup]とおくと、x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]=(x+y)(x-y)=(a[sup]3[/sup]+8b[sup]3[/sup])(a[sup]3[/sup]-8b[sup]3[/sup])[br]=(a+2b)(a[sup]2[/sup]-2ab+4b[sup]2[/sup])(a-2b)(a[sup]2[/sup]+2ab+4b[sup]2[/sup])[br] =(a+2b)(a-2b)(a[sup]2[/sup]+2ab+4b[sup]2[/sup])(a[sup]2[/sup]-2ab+4b[sup]2[/sup])

[b][size=150]＜３項の展開＞[/size][br][/b]a[sup]1[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]0[/sup]の係数は[math]\frac{2!}{1!1!0!}=2[/math]だから、[br][b][size=150][color=#0000ff](a+b+c)[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]+2(ab+bc+ca)[/color][br][/size][/b]a[sup]2[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]0[/sup]の係数は[math]\frac{3!}{2!1!0!}=3[/math]、a[sup]1[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]1[/sup]の係数は[math]\frac{3!}{1!1!1!}=6[/math]だから、[color=#0000ff][b][size=150](a+b+c)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+3a[sup]2[/sup](b+c)+3b[sup]2[/sup](c+a)+3c[sup]2[/sup](a+b)+6abc[br][/size][/b][/color][br][b][size=150]＜３項の展開の変形＞[/size][/b][br](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc[br][color=#0000ff]3項３乗和の因数分解の公式[/color]として、[br][b][size=150][color=#0000ff]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc=(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)[/color][br][/size][/b]（理由）[br][color=#0000ff](a+b+c)[sup]3[/sup]=[/color][math]\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2^{ }-ab-bc-ca+3\left(ab+bc+ca\right)\right)[/math][br]=(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+3(a+b+c)(ab+bc+ca)[br]=[color=#0000ff](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+[u]3a[sup]2[/sup](b+c)+3b[sup]2[/sup](c+c)+3c[sup]2[/sup](a+b)[/u]+9abc[br][/color][br]上の２式の左辺(a+b+c)[sup]3[/sup]が等しく、下線部分も等しいので、それ以外も等しい。[br](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+9abc＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+6abc[br]だから、(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+(6-9)abc=a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc[br][color=#0000ff]（例）[/color](x-y)[sup]3[/sup]+(y-z)[sup]3[/sup]+(z-x)[sup]3[/sup]の素因数分解は？[br]a=x-y,b=y-z,c=z-xとおくと、a+b+c=0となる。だから、a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc=0[br]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]=3abc=3(x-y)(y-z)(z-x)[br]

[b][size=150]＜整式の割り算＞[/size][br][/b][color=#0000ff]多項式A,B,Q,Rの間にA÷B＝QあまりR（Rの次数がBより低い）[br]つまり、A=BQ+Rの関係があるとき、A÷BのQが商、Rが余り。[br][/color][br][b][size=150]＜分数式＞[/size][/b][br]多項式A,Bの割り算A÷Bを分数B分のAの形にかくと、式の分数ができる。これを分数式という。[br]分数式の加減は通分して、最後は約分する。[br]（例）[math]\frac{x+2}{x^2+5x+6}+\frac{x+1}{x^2+4x+3}=\frac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{2}{x+3}[/math]