[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte_LK.png[/img]

[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf#page=2][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph6.png[/img][/url][br][br][size=150][b][color=#ff7700]Leitfrage zu Phase 6:[/color][/b][/size][br]Kann man die Ableitung bei [math]x_=[/math] mit [math]f(x)[/math] exakt berechnen?

[size=150][b][color=#ff7700]Ausgangspunkt: Modellierung von f(x) als Potenzfunktion[/color][/b][/size][br][br]Um mit den SuS die [b]Grenzwertbildung algebraisch[/b] nachvollziehen, bietet sich ein anders als in [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/p5rmaxmp]*Phase 5: M1.I.5 L Weg(Zeit)-Funktion modellieren[/url]) ein [b]vereinfachter quadratischer Ansatz [/b][math]f\left(x\right)=b\cdot x^2[/math] für die [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img] Modellierung der [b]Weg(Zeit)-Funktion[/b] der Bewegung des Gepards in [b]GeoGebra-MMS[/b] an.[br][br]Die SuS geben [b]4-5 Wertepaare[/b] (z.B. aus [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/p5zcnhq9]Phase 2: M1.I.2 L Geschwindigkeit als Änderungsrate[/url]) als [b]Datenpunkte [/b]in GeoGebra-MMS ein sowie die Funktionsgleichung mit Parameter [math]f\left(x\right)=b\cdot x^2[/math], zu der automatisch ein [b]Schieberegler[/b] für den Parameter [math]b[/math] erzeugt wird. Mit diesem passen sie den Funktionsgraph möglichst gut an die Funktion an und bestimmen so [math]b[/math].

[size=150][b][color=#ff7700]Algebraisch die momentane Geschwindigkeit bestimmen[/color][/b][/size][br]Nun kann man optional den ermittelten Wert für den Parameter [math]b[/math] in die Funktionsgleichung einsetzen [math]f(x)=3.5 \cdot x^2[/math], oder man führt die Grenzwertbetrachtung mit dem Parameteransatz für die Funktionsgleichung [math]f(x)=b \cdot x^2[/math] durch.[br][br]Um die[b] mittlere Geschwindigkeit[/b] z.B. um den Zeitpunkt [math]x_0=3[/math] zu berechnen, setzt man die Funktionsgleichung in den [b]Differenzenquotient [/b]ein und kann den Ausdruck mit der 3. binomischen Formel vereinfachen:[br][math]v_m=\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=\frac{b\cdot x^2-b\cdot\left(3\right)^2}{x-3}=\frac{b\cdot\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x-3}=b\cdot\left(x+3\right)[/math][br]Für den letzten Umformungsschritt sollte man betonen und [b]begründen [/b](lassen), [b]dass man hier kürzen darf[/b] solange [math]x\ne3[/math]. Das knüpft auch an den nun folgenden Grenzprozess an.[br][br]Mit der Vereinfachung durch die Umformung lässt sich nun die [b]momentane Geschwindigkeit[/b] zum Zeitpunkt [math]x_0=3[/math] durch einfache Grenzwertbildung ([b]Übergang zum Differentialquotient[/b]) berechnen:[br][math]v=lim_{x\rightarrow3}\left(v_m\right)=lim_{x\rightarrow3}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}\right)=lim_{x\rightarrow3}\left(b\cdot\left(x+3\right)\right)=2\cdot 3\cdot b[/math].[br][br]Abschließend kann man den so algebraisch bestimmten Wert für die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [math]x_0=3[/math] mit dem Wert aus der numerischen Annäherung (s. [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/p5zcnhq9]Phase 3: M1.I.3 L Näherung der momentanen Geschwindigkeit[/url]) vergleichen.

[size=150][b][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/b][/size][br]1h

[size=150][b][color=#ff7700]Übungen[/color][/b][/size][br]Analoge Grenzwertbetrachtungen zu anderen Zeitpunkten [math]x_0[/math] können Kapitel III. Ableitungsfunktion vorbereiten.[br]Möglich ist in dem Zusammenhang außerdem die Bestimmung der lokalen Änderungsrate z.B. an der Stelle [math]x_0=3[/math] für die Funktion [math]f(x)=a\cdot x^2 + b[/math].