[br]Jeżeli [math]z=|z|(cos\varphi+i\,sin\varphi)[/math] oraz [math]w=|w|(cos\psi+i\,sin\psi)[/math], to [center] [math]z⋅w=|z|\cdot |w|\cdot (cos(\varphi+\psi)+i\,sin(\varphi+\psi))[/math], [math](*)[/math] [/center][center][math]\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|} \cdot (cos(\varphi-\psi)+i\,sin(\varphi-\psi))[/math], o ile [math]w\ne0[/math]. [math](**)[/math][/center]

Niech [math]z_0=\cos\varphi _0+i\sin\varphi _0[/math] będzie ustaloną liczbą o module równym [math]1[/math]. Wówczas jeśli [math]z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi )[/math], to [center][math]z\cdot z_0=|z|(\cos(\varphi+\varphi_0)+i\sin(\varphi+\varphi_0)).[/math][/center][center][math]\frac{z}{z_0}=|z|(\cos(\varphi-\varphi_0)+i\sin(\varphi-\varphi_0)).[/math][/center]Graficznie oznacza to, że pomnożenie liczby [math]z[/math] przez ustaloną liczbę [math]z_0[/math] odpowiada obrotowi tej liczby o kąt [math]\varphi_0[/math], zaś podzielenie przez [math]z_0[/math] [math]-[/math] obrotowi o kąt [math]-\varphi_0[/math].

Manipulując obiektami swobodnymi w powyższym aplecie (punkty [math]z[/math] i [math]z_0[/math]) odpowiedz na podane pytania, a następnie udowodnij postawione hipotezy.[br]1) Niech [math]z_0 \in \mathbb{C} [/math] i [math]z\in \mathbb{R}[/math]. Co można powiedzieć o liczbach [math]z\cdot z_0[/math] i [math]\frac{z}{z_0}[/math]? [br]2) Niech [math] z \in \mathbb{C} [/math]. Dla jakich wartości kąta [math]\varphi_0[/math] liczby [math]z\cdot z_0[/math] i [math]\frac{z}{z_0}[/math] są przeciwne, a dla jakich równe?

Uzasadnij wzór [math](**)[/math]. Jakie tożsamości trygonometryczne należy wykorzystać?