a) [br][math]K\left(t\right)=4000\cdot1,05^t[/math][br][math]5000=4000\cdot1,05^t[/math][br]mit CAS ergibt sich [math]t\approx4,57[/math]. Nach etwas mehr als 4,5 Jahren wurden 4000€ zu 5000€[br]Genauso kannst du mit dem Logarithmus rechnen.[br][math]5000=4000\cdot1,05^t[/math] | [math]:4000[/math][br][math]1,25=1,05^t[/math][br][br]b)[br][math]5000\cdot a^3=5955[/math][br]mit CAS oder Gleichung auflösen (geteilt durch 5000 und dritte Wurzel) ergibt sich [math]a\approx1,06[/math]. Das bedeutet 6% Zinsen.[br][br]c)[br]Die Aufgabe scheint schwieriger, da kein Startkapital gegeben ist. Das brauchen wir aber gar nicht.[br][br][math]b\cdot1,06^t=2\cdot b[/math] Hier kann ich beide Seiten durch b teilen. Also kann ich eigentlich auch sofort immer hinschreiben:[br][math]2=1,06^t[/math] mit Logarithmus oder Solve-Befehl folgt: [math]t\approx11,895[/math][br]Nach etwa 12 Jahren hat sich das Kapital also verdoppelt (unabhängig vom Startkapital).

a)[br]Exponentielle Wachstum liegt vor, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Werte ungefähr gleich sind. (Um einen Mittelwert schwanken)[br][math]150/100=1,5[/math] [math]230/150=1,53[/math] [math]340/230=1,48[/math] [math]500/340=1,47[/math][br]Wir legen also fest:[math]f(t)=100\cdot1,5^t[/math][br][br]b)[br][math]f(t)=1000[/math] [math]\Rightarrow t\approx5,68[/math][br]Nach ca. 6 Stunden enthält die Kultur etwa 1000 Bakterien[br][br]c)[br]Wachstum um [math]1000\%[/math] bedeutet das 11-fache des Startwerts, denn [math]100\%+1000\%=1100\%[/math]. [math]100\%[/math] sind ja schon zu Beginn da (Grundwert).[br]Also [math]1,5^t=11[/math]. Mit Solve-Befehl oder Logarithmus ergibt sich [math]t\approx5,91[/math].

a)[br]Pro Tag zerfallen 8,3%, also bleiben 91,7% übrig. Deswegen ist [math]a=0,917[/math].[br][br]Wieder meint man, diese Aufgabe ist schwierig weil kein Startwert angegeben ist. Doch auch hier - wie bei Aufgabe 12- könnte man durch den Startwert b auf beiden Seiten und er fällt so weg. Also kann man auch hier gleich schreiben:[br][math]0,917^t=0,5[/math][br]Damit ist [math]t\approx8,0[/math]. Die Halbwertszeit beträgt also 8 Tage.[br][br]b)[br]Nicht verzweifeln! Es ist hier genau das selbe Prinzip. Nur bleibt statt der Hälfte (0,5) nur noch ein Achtel übrig.[br]Also: [math]0,917^t=\frac{1}{8}[/math]. Mit Logarithmus oder Sollte-Befehl erhältst du: [math]t\approx24,0[/math]. Nach ca. 24 Tagen ist [math]\frac{1}{8}[/math] des Jods noch nicht zerfallen.[br]

a)[br][math]log_4x=2\cdot log_43\Leftrightarrow log_4x=log_43^2\Leftrightarrow x=3^2=9[/math][br]b)[br][math]lgx=lg6-lg3\Leftrightarrow lgx=lg\left(\frac{6}{3}\right)\Leftrightarrow x=\frac{6}{3}=2[/math][br]c)[br][math]lgx=2\cdot lg5+3\cdot lg2\Leftrightarrow lgx=lg5^2+lg2^3=lg25+lg8\Leftrightarrow lgx=lg\left(25\cdot8\right)\Leftrightarrow x=25\cdot8=200[/math][br][br]d)[math]9\cdot log_3x=27\Leftrightarrow log_3x=3\Leftrightarrow3^3=x\Leftrightarrow x=27[/math][br]Bei d) nicht vergessen, dass man die Logarithmusgesetze nicht immer anwenden muss. Hier ist die 9 "rauszuteilen" viel einfacher.

a) FALSCH [math]lga+lgb=lg\left(a\cdot b\right)[/math]. Es kann nicht beides sein. Bei [math]lg(a+b)[/math] kann man wie bei [math]a^4+a^5[/math] nichts mehr vereinfachen. (einfach!)[br]b)RICHTIG [math]\frac{1}{2}\cdot log_ab=log_ab^{\frac{1}{2}}=log_a\sqrt{b}[/math]. Das löst also die Gleichung [math]a^x=\sqrt{b}[/math]. Wenn ich hier beide Seiten quadriere, erhalte ich [math]a^{2^x}=b[/math]. Also kann ich auch [math]a^2[/math] als Basis nehmen und die Umformung stimmt (schwierig!)[br][br]c)RICHTIG, denn es löst die Gleichung [math]a^x=a[/math]. Dann muss x schon 1 sein. (einfach!)

t wird in Wochen angegeben, f(t) beschreibt die Höhe[br][br][math]f(t)=1,2\cdot2^t[/math][br][math]1,2\cdot2^t=30\Longrightarrow t\approx4,643[/math][br]nach ca. 4,653 Wochen (4 Wochen, 4 Tage, 12 Stunden, denn [math]0,643\cdot7Tage\approx4,5Tage[/math]) erreich die Alge die Wasseroberfläche.