VI Eigenschaften von Funktionen und ihrer Graphen
Table of Contents
- Verschieben von Funktionsgraphen
- 1. Verschieben von Funktionsgraphen
- Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
- 2. Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
- Hefteintrag und Lösung
- Symmetrie von Funktionsgraphen
- 3. Symmetrie von Funktionsgraphen
- Übung: Symmetrie von Funktionsgraphen
- Lösung: Übung zur Symmetrie
- Übung: Transformation von Funktionsgraphen
1. Verschieben von Funktionsgraphen
Mittlerweile kennst du schon sehr viele [color=#1155cc][b]Funktionsklassen[/b][/color]: ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktion, Wurzelfunktion, trigonometrische Funktionen,... [br][br]Über einzelne Graphen, wie von Parabeln oder trigonometrischen Funktionen, kannst du schon sehr detaillierte Aussagen treffen. Du weißt wie sie zusammenhängen oder wo Hoch- und Tiefpunkte sind. In diesem Kapitel betrachten wir [b][color=#1155cc]Funktionsgraphen[/color][/b] ganz [color=#1155cc][b]allgemein[/b][/color], sodass wir nicht mehr so sehr abhängig vom Wissen über die jeweilige Funktionsklasse sind.[br][br]Wir beginnen mit der [color=#1155cc]Verschiebung von Graphen[/color][b]. [br][/b]Wiederhole in folgender LearningApp, was du noch über die Verschiebung von [color=#cc0000][b]Parabeln[/b][/color] weißt.
Auch über die allgemeine Sinusfunktion hast du schon einiges gelernt.[br][br][b]Erinnerung:[/b][br][size=150][size=200][br]f(x) = [color=#cc0000]a[/color] sin ([color=#6aa84f]b[/color](x+[color=#e69138]c[/color])) + [color=#6d9eeb]d[br][/color][/size][/size][br][br][size=100][color=#cc0000]a: Streckung in y-Richtung[/color][br][/size][br][color=#6aa84f]b: Streckung in x-Richtung[br][/color][br][color=#e69138]c: Verschiebung an der x-Achse[/color][br][br][color=#6d9eeb]d: Verschiebung an der y-Achse[br][/color][br]Erprobe dein Wissen in folgender LearningApp.
Das, was du über diese speziellen Funktionen schon weißt, wollen wir nun auf allgemeine Funktionen übertragen. Heute beschäftigen wir uns dabei nur mit der[b][color=#1155cc] Verschiebung[/color][/b].[br][br][br]Der Graph von[color=#cc0000][b] g(x)[/b][/color] entsteht aus dem Graph von[color=#38761d][b] f(x)[/b][/color] durch Verschiebung. Mit dem [b]Schieberegler a [/b]kannst du verschiedene Verschiebungen austesten.
Beschreibe in eigenen Worten, wie Der [color=#cc0000][b]Graph von g[/b][/color] verschoben wird und wie sich das im Term [b][color=#cc0000]g(x)[/color][/b] widerspiegelt.
Dann bleibt uns nur noch eine andere Verschiebungsrichtung. Untersuche diese im nächsten GeoGebra-Applet.
Beschreibe, wo sich die Verschiebung im Term erkennen lässt.
Das ganze wollen wir nun im [color=#1155cc][b]Hefteintrag[/b][/color] festhalten.
Erklärvideo
Verständnisfragen
[math]g(x)=(x-2)^2-4[/math] entstand aus [math]f(x)=x^2[/math] durch Verschiebung. Wie wurde verschoben?
[math]g(x)=\frac{2}{3\left(x+2\right)}[/math] entstand aus [math]f(x)=\frac{2}{3x}[/math] durch Verschiebung. Wie wurde verschoben?
[math]g(x)=2^{x-2}+4[/math] entstand aus [math]f(x)=2^x[/math] durch Verschiebung. Wie wurde verschoben?
[math]g(x)=\left(x-4\right)^3[/math] entstand aus [math]f(x)=\left(x-8\right)^3[/math] durch Verschiebung. Wie wurde verschoben?[br][br][color=#38761d][b]Tipp:[/b][/color] Betrachte ganz genau, was gerechnet wurde.
Und jetzt wird geübt.[br][br]Die folgenden Übung findest du im...[br][color=#38761d][br]Buch S. 129[br][/color][br][br][color=#38761d][b]Tipp:[/b][/color] Suche die markante Punkte, wie Nullstellen, Hoch- oder Tiefpunkte und betrachte, wie sie verschoben wurden.
Lösung a)
Lösung b)
Lösung
Lösung
Löse jetzt noch das folgende [color=#1155cc][b]Arbeitsblatt[/b][/color]. Aufgabe 3 ist dabei freiwillig.[br][br]Die Lösung findest du darunter.
AB: Verschiebung von Graphen
AB: Lösung
freiwillige Übung: MatheGym
2. Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
Man kann Funktionsgraphen nicht nur in beide Richtungen verschieben, man kann sie auch Strecken beziehungsweise Stauchen.[br][br][b][color=#38761d]Stell dir vor...[/color][/b][br]... du zeichnest eine Funktion f auf ein elastischen Bettlaken. [br][b][color=#e69138]Strecken:[/color][/b] Ziehst du an den Seiten des Lakens wird der Graph in y- bzw. x-Richtung gestreckt.[br][br][b][color=#e69138]Stauchen[/color][/b]: Schiebst du den Stoff von den Seiten her zusammen (mathematisch ideal ohne Falten), wird der Graph in x- bzw. in y-Richtung gestaucht.[br][br]Trotzdem spricht oft generell einfach von Streckung und dem [color=#e69138][b]Streckungsfaktor[/b][/color]. Ob es dann tatsächlich gestaucht oder gestreckt wird, musst du vom Streckungsfaktor ablesen.[br][br][br][b][color=#38761d][size=150]Auftrag: [/size][/color][/b][br]Arbeite dich durch diese GeoGebra-Seite und untersuche die Streckung in x- und y-Richtung.
Multiplikation der gesamten Funktion
In diesem Applet wird der [color=#e69138][b]gesamte Funktionsterm mit dem Streckungsfaktor k multipliziert[/b][/color], also:[br][br][math]g\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math][br][br][b]1. Gib an in welche Richtung gestreckt/gestaucht wird.[br]2. Untersuche für welche k gestreckt und für welche gestaucht wird. [br]3. Beachte auch, was mit den Nullstellen geschieht.[/b][br][br][color=#38761d][b]Tipp:[/b][/color] Stell dir wieder vor, du würdest den Graphen auf ein Bettlaken zeichnen. An welcher Seite des Lakens stehst du? Für welche k ziehst du an? Für welche k schiebst du zusammen?
Lösung
Division der Variable
In diesem Applet wird der [color=#e69138][b]Variable durch k dividiert[/b][/color], also:[br][br][math]g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{k}\right)[/math][br][br][b]1. Gib an in welche Richtung gestreckt/gestaucht wird.[br]2. Untersuche für welche k gestreckt und für welche gestaucht wird. [br]3. Beachte auch, was mit den Nullstellen geschieht.[/b][br][br][color=#38761d][b]Tipp:[/b][/color] Stell dir wieder vor, du würdest den Graphen auf ein Bettlaken zeichnen. An welcher Seite des Lakens stehst du? Für welche k ziehst du an? Für welche k schiebst du zusammen?
Lösung
Bis jetzt haben wir nur positive k betrachtet. [b][color=#e69138]Negative k verändern den Graphen zusätzlich auf eine ganz bestimmte Weise.[/color][/b][br][br]Wir betrachten dafür nun zunächst nur[math]k=-1[/math].[br][br][b]Untersuche in folgendem Applet wie sich der Funktionsgraph beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit (-1) verändert.[/b]
Multiplizieren mit (-1)
Beschreibe in Worten was geschieht.
Dividieren durch (-1)
Beschreibe in Worten was geschieht.
Erklärvideo
[color=#cc0000][b]Vorsicht![br][/b][/color][br]Im Erlärvideo ist dir bestimmt ein Unterschied aufgefallen. Oft wird die Streckung in x-Richtung auch so definiert:[br][math]g\left(x\right)=f\left(a\cdot x\right)[/math] dann wird der Graph von f um den Faktor [math]\frac{1}{a}[/math] gestreckt. Das bedeutet also bei [math]f\left(2x\right)[/math] wird der Graph auf de Hälfte gestaucht. Man muss hier also leicht umdenken.[br][br]Unsere Definition funktioniert genauso:[br]Will ich auf die Hälfte stauchen, teile ich also durch [math]k=\frac{1}{2}[/math]. Das Ergebnis ist dasselbe, denn [math]f\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)=f\left(2x\right)[/math]. (Wenn ich durch einen Bruch teile, multipliziere ich mit dem Kehrbruch.)[br][br]Welche Denkweise dir mehr liegt, kannst du selbst entscheiden.
[color=#38761d][b]Übung:[br][/b][/color][br]Natürlich kann man das auch alles zusammen werfen.[br][br]Im folgenden Applet gilt:[br][br][math]g\left(x\right)=a\cdot f\left(\frac{x}{b}\right)[/math][br][br]Gib für a und b jeweils passende Werte ein. Bestätige deine Eingabe jeweils mit Enter oder tippe am iPad auf den Bildschirm außerhalb des Eingabefeldes.
Spiegle an x- und y-Achse
Spiegle an y-Achse und strecke um den Faktor 2 in y-Richtung
Spiegle an x-Achse und strecke in beide Richtungen auf das Doppelte
Arbeite dich nun noch durch folgendes [color=#38761d][b]Arbeitsblatt[/b][/color].
Übung: Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
freiwillige Übung: MatheGym
3. Symmetrie von Funktionsgraphen
Wir starten mit einer kleinen [color=#3d85c6][b]Wiederholung[/b][/color]. Arbeite dich durch die folgenden Fragen.
Der Graph von g entsteht aus f durch Spiegelung an der y-Achse. Gib [math]g\left(x\right)[/math] an.[br][br][math]f\left(x\right)=3x^4+2x^2[/math]
Der Graph von g entsteht aus f durch Spiegelung an der y-Achse. Gib [math]g\left(x\right)[/math] an.[br][br][math]f\left(x\right)=3x^6+2x^4+1[/math]
Der Graph von g entsteht aus f durch Spiegelung an der x-Achse und y-Achse. Gib [math]g\left(x\right)[/math] an.[br][br][math]f\left(x\right)=3x^3+2x^{ }[/math]
Der Graph von g entsteht aus f durch Spiegelung an der x-Achse und y-Achse. Gib [math]g\left(x\right)[/math] an.[br][br][math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]
In der letzten Lektion hast du bereits gelernt, wie man Graphen streckt und spiegelt. [br]Vom Spiegeln gehen wir noch einen Schritt weiter und untersuchen die [b][color=#6aa84f]Symmetrie von Funktionsgraphen[/color][/b].[br][br]Wir untersuchen dabei zwei Arten von Symmetrien:[br][br][color=#38761d][b]Achsensymmetrie zur y-Achse[/b][/color][br][br][color=#38761d][b]Punktsymmetrie im Ursprung[/b][/color][br][i]180°-Drehung um Ursprung[/i][br][br]Ordne in folgender [color=#3c78d8][b]LearningApp[/b][/color] die Graphen einer Symmetrieeigenschaft zu.
Natürlich haben wir nicht immer den Luxus, den Graphen vor uns zu haben. Deshalb ist es unser Ziel auch [color=#6aa84f][b]am Term Symmetrieeigenschaften[/b][/color] ablesen zu können.[br][br]Dazu ist dir vielleicht bei den oberen [b][color=#3d85c6]Wiederholungsaufgaben[/color][/b] zum Spiegeln schon etwas aufgefallen....
Na klar! Mir ist nämlich aufgefallen, dass...
Diese Graphen hatten nämlich auch schon bestimmte Symmetrieeigenschaften. Überlege nun zunächst welche der oberen Beispiele [color=#6aa84f][b]achsensymmetrisch zur y-Achse[/b][/color] und welche [color=#6aa84f][b]punktsymmetrisch zum Ursprung[/b][/color] waren.[br][br]Überprüfe dann deine Vermutung, indem du dir das Video ansiehst und parallel dazu die [b][color=#3d85c6]Beispiele im Hefteintrag[/color][/b] vervollständigst.
Erklärvideo
Hefteintrag: Symmetrie von Funktionsgraphen
Teste dein Verständnis nun gleich einmal in der folgenden [b][color=#3d85c6]LearningApp[/color][/b].
Bearbeite jetzt noch das folgende[b][color=#3c78d8] Arbeitsblatt[/color][/b]. Die [color=#3c78d8][b]Lösung[/b][/color] findest du darunter.
Arbeitsblatt: Symmetrie von Funktionsgraphen
Lösung
