[b]Breve historia de la factorización[/b][br]La factorización ha sido un tema tratado por un gran número de matemáticos importantes a través de la historia haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas, además de que es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático para “transformar” una expresión algebraica de manera conveniente, para resolver algún problema.[sup][url=https://factorizacion720676.wordpress.com/2015/02/09/origen-de-la-factorizacion/]1[/url][/sup][br][br]La factorización tiene una importancia considerable a través de la historia para la solución de ecuaciones algebraicas; ya que en un primer lugar, la factorización surge ante la necesidad de solucionar ecuaciones cuadráticas y de segundo grado, pero su utilización ha sido importante para el avance de la matemática en diferentes campos científicos y utilizadas por diferentes culturas a través de las épocas, tales como los Babilonios, los Egipcios, los Griegos, los Hindúes, los Chinos y en la época contemporánea para los Americanos y los Europeos. En la figura 1 se muestra una línea de tiempo de los diferentes avances logrados en el campo de la factorización desde su aparición inicial hasta nuestros días.[br][br][br][img]https://4.bp.blogspot.com/-1-GskDiR5mo/WNtUqzvBeaI/AAAAAAAAACs/OdPhYrWnlSgH9QB-PQy3Z0ozv6126cg_wCLcB/s400/LINEA%2BDE%2BTIEMPO.jpg[/img][br]Bibliografía: http://factorizacionaplicadaparatodos.blogspot.com/2017/03/breve-historia-de-la-factorizacion-la.html

Teoria: [br]El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos del polinomio algebraico. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo. [br][img]https://www.videosdematematicas.com/algebra/sites/default/files/styles/recortado/public/field/image/01%20Caso%20Uno%20Factor%20comun%20ejemplo%2002.png?itok=vlX-CGqo[/img][br]Pasos a seguir: [br][br]1) Sacar el maximo común divisor y sacar las variables iguales. [br][br]2) Colocamos el máximo común divisor y el factor común y dividmos los polinomios. [br][img]https://www.cienciamatematica.com/wp-content/uploads/factor-comun.png[/img][br][br]Ejemplos: [br][br][br][br]1) 3x[sup]2[/sup]y + 6x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup]+ 3xy = [br]3xy (x +2xy + 1) [br][br][br] [br][br]2) 9b (x[sup]3[/sup] – y[sup]2[/sup]) – 7c (x[sup]3[/sup] – y[sup]2[/sup]) = [br](x[sup]3 [/sup]– y[sup]2[/sup]) (9b – 7c) [br][br][br] [br] [br]3) 4ab[sup]3[/sup] – 7ab = [br]ab (4b[sup]2[/sup]- 1) [br][br][img]https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/sab24d320592e0f50/image/i1bdd7d602c25bb84/version/1562082480/image.png[/img][br][br][br] [br][br][br][br][br]

Caso 2 Factor Común por agrupación [br][br][b][i]Pasos: [/i][/b][br]1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.[br]2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que[br]los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las[br] cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común[br] en cada grupo, sean exactamente iguales.[br]3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común[br] Polinomio.[br][img]https://i.ytimg.com/vi/5vyGUZbL4YE/hqdefault.jpg[/img][br]__________________________________https://i.pinimg.com/600x315/89/cf/41/89cf4121484064f8695ef9f42c62ceb4.jpg[br]____________________[br][b]Ejemplos:[br]1) ax + ay + 4x + 4y =[br](ax + ay)(4x + 4y)=[br] a(x + y) + 4(x + y) = [br](x + y)(a + 4)[/b][br] [br][b]2) 2y[sup]2[/sup] – 6y + 5y + 15 =[br] (2y[sup]2[/sup] – 6y) + (5y - 15)=[br] 2y(y - 3) + 5(y - 3)= [br](y - 3)(2y + 5)[br][br]3) 8ac - 4ad - 6bc + 3bd = [br](8ac – 4ad) – (6bc – 3bd)=  [br]4a(2c - d) – 3b(2c - d) = [br](2c - d)(4a - 3b)[br][img]data:image/png;base64,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Teoria[br]Pasos a Seguir: [br]- 1 Para factorizar los términos a[sup]2[/sup]+2ab+b[sup]2[/sup], se debe verificar que los términos se encuentren ordenados con respecto a los exponentes de mayor a menor o viceversa.[br][br]- 2 Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos. (Primero y ultimo término). √a[sup]2 [/sup]= a √b[sup]2 [/sup]= b.[br][br]- 3 Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces: Comprobación= 2ab[br][br]- 4 Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces este es cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas de los términos extremos. [br][img]https://www.polinomios.org/wp-content/uploads/2020/11/trinomio-cuadrado-perfecto.png[/img][br]Ejemplos: [br][br]1) [br][br]x[sup]2 [/sup]− 2x + 1 =[br][br]= (x − 1)[sup]2[/sup][br][br][br][br][br][br]2) [br][br]2x[sup]2[/sup] − 6x + 9 =[br][br]= (x − 3)[sup]2[/sup][br][br][br][br][br][br][br]3) [br][br]3x[sup]2[/sup] − 20x + 100 =[br][br]= (x − 10)[sup]2[br][br][br][img]https://www.spanishged365.com/wp-content/uploads/2015/05/ejercicios_cuadrados_perfectos.jpg[/img][br][br][/sup][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br]

Teoría[br]- La diferencia de cuadrados es de la forma a[sup]2 [/sup]- b[sup]2 [/sup]y su factorización es: [b]a[sup]2 [/sup]- b[sup]2[/sup] – (a + b) (a – b) [br][/b][br][br]Pasos a Seguir: [br][br]- 1 Se extraen la raíz cuadrada de cada término.[br]- 2 Se forman dos factores uno con la suma de las raíces encontradas y el otro con la diferencia de dichas raíces. [br][br][img]https://www.videosdematematicas.com/algebra/sites/default/files/styles/recortado/public/Factorizacion%20por%20diferencia%20de%20cuadrados.png?itok=oJOn-qFo[/img][br] Ejemplos: [br][br]1) x[sup]2[/sup] - 9 = [b](x + 3).(x - 3)[/b][br][br][color=#CC0000][b]x[/b] Raíz cuadrada    [b] 3[/b] Raíz cuadrada[br][br][/color]2) x[sup]6[/sup] - 4 = [b](x[sup]3[/sup] + 2).(x[sup]3[/sup] - 2)[/b][br][br][color=#CC0000][b]x[sup]3[/sup][/b] Raíz cuadrada  [b]2 [/b]Raíz cuadrada[br][br][/color]3) 36x[sup]2[/sup] - a[sup]6[/sup]b[sup]4[/sup] = [b](6x + a[sup]3[/sup]b[sup]2[/sup]).(6x - a[sup]3[/sup]b[sup]2[/sup]) [/b][br][br][color=#CC0000][b]6x[/b] Raíz Cuadrada   [color=#CC0000][b]a[sup]3[/sup]b[sup]2[/sup][/b][/color]Raíz cuadrada[br][br][img]https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/sab24d320592e0f50/image/i0a9b1a79022f3e3e/version/1562092390/image.png[/img][br][/color]

Teoría[br][br]- Este es uno de los casos especiales de la factorización, consiste en convertir trinomio cuadrado perfecto adicionandoles y sustrayendole un término.[br][br]Pasos Para Factorizar[br][br]1.- Se verifica si el trinomio dado es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada del primer y tercer, término y multiplicando por el doble peoducto de dichas raíces. [br][br]2.- Si el segundo término del trinomio original no es igual a segundo término virificada, entonces se establece la diferenia y esta se sumara y restara a la expresión.[br][br]3.- Se forma una nueva expresión sumando la diferencia después del segundo término original y restandola al final de la expresión: ax[sup]2[/sup]+ bx + dx + c[sup]2[/sup] – dx   siendo dx la diferencia que ese establecida entre los términos.[br][br]4.- Se escribe entre paréntesis el trinomio cuadrado perfecto establecido y simplificado y a continuación el último término de la nueva expresión.[br][br]5.- Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se simplifica para formar una diferencia de cuadrados.[br][br]6.- Se factoriza la diferencia de cuadrados perfectos y se simplifica para llegar a la solución. [br][img]https://wikisabe.com//wp-content/uploads/2018/02/ejercicio-7-cuadrado-perfecto-por-adicion.png[/img][br]