Da die Funktion parallel aber nicht zusammenfallend mit der x-Achse ist besitzt sie keine Nullstellen.
Typische Graphen von reellen Polynomfunktion
Ausgehend von einfachen Beispielen sollen allgemeine Aussagen über die Anzahl der Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen von Polynomfunktionen aufgestellt werden.[br][br]Zur Erinnerung ein Polynom vom Grad [i]n [/i]kann im Allgemeinen wie folgt angeschrieben werden:[br][br][center][math]\boxed{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1x+a_0 \qquad (mit\, n\in\mathbb{N},\,a_n,\,a_{n-1},\,...,\,a_0\in\mathbb{R}\, und \, a_n\neq 0)}[/math][/center][br][br]Die reellen Zahlen [math]a_n,\,a_{n-1},\, ....\, a_0[/math] nennt man Koeffizienten und [u]die höchste Potenz [i]n[/i] entspricht dem Grad des Polynoms.[/u][br][br]_______________________________________________________________________________[br][br][br][size=150][b]Die wichtigsten Polynomfunktionen:[/b][/size]
[b]n=0:[/b][br][b]konstante Funktion[/b][br][math]f(x)=a_0[/math][br][br][list][*] 0 oder bei [math]f(x)=0[/math] unendlich viele Nullstellen[/*][br][*] 0 Extremstellen[/*][br][*] 0 Wendestellen[/*][br][*] Graph verläuft parallel zur x-Achse[/*][/list]
Graph einer allgemeinen konstanten Funktion:
Graph einer konstanten Funktion f(x)=0:
Da die Funktion ident mit der x-Achse ist besitzt sie unendlich viele Nullstellen.
_______________________________________________________________________________[br]
[b]n=1:[/b][br][b]lineare Funktion[/b][br][math]f(x)=a_1x+a_0(=kx+d)[/math][br][br][list][*] genau 1 Nullstelle[/*][br][*] 0 Extremstellen[/*][br][*] 0 Wendestellen[/*][br][*] Graph schneidet die x-Achse an genau einer Stelle[/*][/list]
Typischer Graph einer linearen Funktion:
Eine lineare Funktion besitzt genau eine Nullstelle.
_______________________________________________________________________________[br]
[b]n=2:[/b][br][b]quadratische Funktion[/b][br][math]f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0(=ax+bx+c)[/math][br][br][list][*] 0,1 oder 2 Nullstellen (Stichwort: [url=https://de.serlo.org/mathe/1513/diskriminante]Diskriminante[/url])[/*][br][*] 1 Extremstellen bei [math]-\tfrac{a_1}{2a_2}[/math][/*][br][*] 0 Wendestellen[/*][br][*] Graph ist eine Parabel[/*][/list]
Typische Graph einer quadratischen Funktion:
Eine Parabel kann 0, 1 oder 2 Nullstellen haben.
_______________________________________________________________________________[br]
[b]n=3:[/b][br][b]kubische Funktion[/b][br][math]f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br][br][list][*] 1,2 oder 3 Nullstellen [/*][br][*] 0 ode 2 Extremstellen[/*][br][*] 1 Wendestellen[/*][br][*] Typischer Graph ist s-förmig[/*][/list]
Typischer Graph eines Polynoms dritten Grades:
Der typischer Graph eines Polynoms dritten Grades ist s-förmig, kann aber auch entartet sein z.B. [math]f(x)=x^3[/math].
Nicht s-förmiger Graph eines Polynoms dritten Grades:
_______________________________________________________________________________[br]
[b]n=4:[/b][br][math]f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br][br][list][*] 0,1, ..., 4 Nullstellen [/*][br][*] 1 ode 3 Extremstellen[/*][br][*] 0 oder 2 Wendestellen[/*][br][*] Typischer Graph ist w-förmig[/*][/list]
Typischer Graph eines Polynoms vierten Grades:
Der typische Graph eines Polynoms vierten Grades ist w-förmig, kann aber auch entartet sein z.B.: [math]f(x)=x^4[/math].
Nicht w-förmiger Graph eines Polynoms vierten Grades:
_______________________________________________________________________________[br]
_______________________________________________________________________________[br]
[size=200][b]Allgemeine Aussagen:[/b][/size][br][br][center][math]\boxed{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1x+a_0 \\[br]f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+ ... +2a_2x+a_1 \\[br]f''(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+ ... +6a_3+2a_2[br]}[/math][/center][br][br][b]Nullstellen:[/b] [math]\large{Anzahl\,der\, Nullstellen\leq Grad(f)}[/math][br](Wenn [i]n[/i] ungerade ist dann existiert mindestens eine reelle Nullstelle!)[br][br][b]Extremstellen:[/b] [math]\large{Anzahl\,der\, Extremstellen\leq Grad(f)-1}[/math][br][br][b]Wendestellen:[/b] [math]\large{Anzahl\,der\, Wendestellen\leq Grad(f)-2}[/math][br][list][*] [math]Grad(f)\geq 2 \text{ und gerade: } 0,\,2,\,4.\, ... \text{Wendestellen}[/math][/*][br][*] [math]Grad(f)\geq 3 \text{ und ungerade: mindestens eine Wendestelle}[/math][/*][br][/list]
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[size=200][b] Aufgaben:[/b][/size][br][br]Die abgebildeten Graphen gehören zu Polynomfunktionen vom Grad 2, 3 oder 4. Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Gib den kleinstmöglichen Grad an!
Nullstellensatz von Bolzano
Für jedes reelle Polynom [i]f [/i]mit einem ungeraden Grad lassen sich zwei Zahlen [math]a,b\in\mathbb{R}[/math] finden sodass [math]f(a)<0<f(b)[/math] gilt.[br][br]Schlussfolgere was das für die Existenz einer reellen Nullstelle bedeutet!