[b]DEFINICIÓN[/b][br][br]Se denomina [b]producto escalar[/b] de dos vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] al [b]número real[/b] que resulta de multiplicar el módulo de [math]\vec{a}[/math] por el módulo de [math]\vec{b}[/math] y por el coseno del ángulo que forman sus líneas de acción.[br][br]Matemáticamente se escribe: [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\angle\vec{a}\vec{b}\right)[/math] siempre que [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] sean no nulos.

Dados los vectores [math]\vec{a}=\left(1,3,0\right)[/math] y [math]\vec{b}=\left(1,1,-1\right)[/math], que forman un ángulo de [math]43.1^\circ[/math], su producto escalar será:[br][br][math]\parallel\vec{a}\parallel=\sqrt{1^2+3^2+0^2}=\sqrt{10}[/math][br][math]\parallel\vec{b}\parallel=\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{3}[/math][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\sqrt{30}\cdot cos\left(43.1^{\circ}\right)=4[/math]

Se tienen los vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math], cuyos módulos son [math]\parallel\vec{a}\parallel=5[/math] y [math]\parallel\vec{b}\parallel=3[/math]. Ambos vectores forman un ángulo de [math]60^\circ[/math]. Dibuja los vectores y el ángulo entre ambos siguiendo estos pasos:[br][br][list=1][*]Sobre el eje X dibuja el vector [math]\vec{a}[/math], teniendo en cuenta su módulo.[/*][*]Sobre el eje Y dibuja el vector [math]\vec{b}[/math] teniendo en cuenta su módulo.[/*][*]El ángulo entre ambos es de [math]90^\circ[/math], pero en el enunciado nos dice que debería de ser [math]60^\circ[/math].[/*][*]Usa la herramienta de rotación para hacer rotar el vector [math]\vec{b}[/math] estableciendo el eje de giro en el (0, 0). La rotación ha de ser en sentido horario y los grados que debes rotar el vector han de ser [math]90^\circ-60^\circ[/math].[/*][*]Ahora usa la herramienta de ángulo para comprobar que el ángulo entre ambos vectores es el correcto.[/*][/list]

Sean dos vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math], si el ángulo que forman es de [math]145.7^\circ[/math], representa la situación a continuación.[br][br][math]\vec{a}=\left(2,2\right)[/math]; [math]\vec{b}=\left(2,\sqrt{5}\right)[/math]

[b]INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA[br][/b][br]El producto escarla de dos vectores no nulos [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Se observa en la figura un triángulo rectángulo formado por la hipotenusa [math]\vec{u}[/math] y uno de los catetos es la proyección de [math]\vec{u}[/math] sobre [math]\vec{v}[/math]. Aplicando la definición del coseno del ángulo [math]\alpha[/math] se tiene:[br][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{Proy_{\vec{v}}\vec{u}}{\parallel\vec{u}\parallel}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]Proy_{\vec{v}}\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)[/math][br][br]Sustituyendo en la expresión que teníamos para el producto escalar obtenemos lo siguiente:[br][br][math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{v}\parallel\cdot Proy_{\vec{v}}\vec{u}[/math]

[b]PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR[/b]

[u]Demostración[br][br][math]\vec{u}\cdot\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot cos\left(0^{\circ}\right)=\parallel\vec{u}\parallel^2\ge0[/math][/u]

[math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}[/math][br][br][u]Demostración[br][br][math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot cos\left(360^{\circ}-\alpha\right)=\vec{v}\cdot\vec{u}[/math][/u]

Sea [math]\lambda[/math] un número real, según la propiedad asociativa: [math]\lambda\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\left(\lambda\cdot\vec{a}\right)\cdot\vec{b}[/math][br][br][u]Demostración[br][br][/u][math]\lambda\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\lambda\cdot\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\lambda\cdot\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\left(\lambda\cdot\vec{a}\right)\cdot\vec{b}[/math]

Según esta propiedad:[br][math]\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}[/math][br][br][u]Demostración[br][br][/u]Vamos a ver esta demostración gráficamente.[br][br][list][*]Primer miembro de la igualdad:[/*][/list] [math]\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)[/math][br][br][list][*]Segundo miembro de la igualdad:[/*][/list] [math]\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\vec{a}+\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\vec{b}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot\left(Proy_{\vec{c}}\vec{a}+Proy_{\vec{c}}\vec{b}\right)[/math][br] Observando la figura se ve que:[br] [math]Proy_{\vec{c}}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=Proy_{\vec{c}}\vec{a}+Proy_{\vec{c}}\vec{b}[/math][br][br]Con esto queda demostrada la propiedad, ya que ambos miembros de la igualdad son iguales.

[math]\vec{a}\ne0[/math]; [math]\vec{b}\ne0[/math][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math]\alpha=90^\circ[/math] (perpendiculares)[br][br][u]Demostración[br][/u][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(90^\circ\right)[/math][br][math]cos\left(90^\circ\right)=0[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math][br][br]Si se da este caso se dice que los vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] son [b]ortogonales[/b].

[b]EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR[/b]

Sean los vectores [math]\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)[/math] y [math]\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)[/math] el producto escalar de [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] es igual a:[br][br][center][math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(u_1,u_2,u_3\right)\cdot\left(v_1,v_2,v_3\right)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3[/math][/center]

[b]RECURSO: PRODUCTO ESCALAR EN 3D[br][br][/b]Autor del applet: [url=https://www.geogebra.org/u/javier+cayetano]Javier Cayetano Rodríguez[br][br][/url]Puedes usar este applet de GeoGebra para visualizar el producto escalar de dos vectores [math]\vec{v_1}[/math] y [math]\vec{v_2}[/math] en el espacio. Además, introduciendo las coordenadas que desees podrás visualizar los vectores y se calcula de forma automática sus módulos, ángulo y el producto escalar. También permite visualizar la proyección sobre [math]\vec{v_1}[/math] o sobre [math]\vec{v_2}[/math].

[u]Instrucciones[br][br][/u][list][*]Puedes arrastrar la vista 3D con el botón derecho para visualizar la escena desde la perspectiva que más te interese.[/*][*]Puedes introducir los valores de las componentes de cada vector arriba a la derecha.[/*][*]Marca la casilla para proyectar sobre el vector [math]\vec{v_1}[/math], en lugar de sobre el [math]\vec{v_2}[/math].[/*][/list]