Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
"Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck" als [b]interaktive Lernumgebung - begleitend zum Unterricht[/b] der Jahrgangsstufe 9 an bayerischen Realschulen [b]Die Lernumgebung ist konzipiert als Lernbegleiter für den traditionellen Unterricht mit Phasen entdeckenden Lernens in digitaler Form (Unterrichtskonzept: Entdeckendes Lernen mit mathematischer Kommunikation + Differenzierung + Feedback). [/b] [i]Hinweis: Bei Übungsaufgaben mit anschließendem Textfeld sind die Schülerinnen und Schüler gehalten, die Aufgabe schriftlich (z.B. im Heft) anzufertigen. Mit Hilfe des Textfeldes (ein Buchstabe muss eingetragen werden, dann wird der Button „Antwort überprüfen“ aktiviert) kann die Lösung überprüft werden.[/i]
Table of Contents
- Benennungen
- Benennungen im rechtwinkligen Dreieck
- Tangens
- Tangens - Einführung
- Tangens - einfache Übung
- Tangens - Musteraufgaben
- Sinus und Kosinus
- Sinus und Kosinus - Einführung
- Sinus - Übung
- Sinus - Kosinus - Musteraufgaben
- Aufgaben
- Neigungswinkel einer Pyramide
Benennungen im rechtwinkligen Dreieck
Die Begriffe Hypotenuse und Kathete sind dir bereits vom Satz des Pythagoras bekannt.[br][br]Im Bezug auf einen Winkel werden die beiden [b]Katheten [/b]ab jetzt unterschieden:[br][list][*]die [b]An[/b]kathete fängt beim Winkel [b]an[/b].[/*][*]die [b]Gegen[/b]kathete liegt dem Winkel [b]gegen[/b]über.[br][/*][/list]
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite.
Tangens - Einführung
Nach dem Abheben von der Startbahn steigt ein Airbus geradlinig mit einem Steigungswinkelmaß von 13°.[br][br]Aufgabe: [br]a) Ermittle durch Zeichnung in deinem Heft, welche Höhe das Flugzeug nach einer Strecke von 80 m (in der Horizontalen) erreicht hat.[br][br]b) Welche Höhe hat das Flugzeug nach 120 m (in der Horizontalen) erreicht?
Lösung zum Überprüfen:
Mit dieser Zeichnung kannst du weitere Entfernungen einstellen: bewege den blauen Punkt.
Wie heißt der Fachbegriff, mit dem alle entstehenden rechtwinkligen Dreiecke beschreiben kann?
Hier geht es um die Bezeichnungen in den entstehenden rechtwinkligen Dreiecken:
Wie nennt man die entsprechenden Strecken bezüglich des Winkels [math]\alpha[/math]=13°?
Arbeite mit dem Taschenrechner: Teile "Länge der Gegenkathete" durch "Länge der Ankathete" für mehrere Dreiecke. Was stellst du fest?
Bei der Berechnung [math]\frac{LängeGegenkathete}{LängeAnkathete}[/math] in diesen Dreiecken ergibt sich ...[br][br][i](Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.)[/i]
Begründung:
Mit welchem Zusammenhang kannst du begründen, dass sich bei dem Quotienten [math]\frac{LängeGegenkathete}{LängeAnkathete}[/math] stets der selbe Wert ergibt?
Übernimm den folgenden Hefteintrag:
Wie weit ist das Flugzeug von der Startbahn entfernt, wenn es eine Höhe von 800 m erreicht hat?
Sinus und Kosinus - Einführung
Wende die Strahlensätze an. Verwende die Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke![br][br]Vervollständige die Gleichung: [math]\frac{1,15}{5,13}=\ldots[/math]
[i][b][color=#ff0000]Übernimm die Überschrift und die "angeklickte" Zeichnung als Hefteintrag in dein Heft.[/color][/b][br][/i]
Neigungswinkel einer Pyramide
[size=150]Das Quadrat ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist Grundfläche der Pyramide ABCDS mit der Höhe [math]\overline{MS}[/math].[br]Es gilt: A(2|0|0), B(0|2|0), C(-2|0|0), D(0|-2|0), S(0|0|3) und M[sub]b[/sub] ist Mittelpunkt der Seite [math]\overline{BC}[/math].[/size]
Begründe rechnerisch folgende Aussage:
[size=150]Das Maß [math]\alpha[/math] des [b][color=#38761d]Neigungswinkels SBM der Kante[/color][/b] BS zur Grundfläche ist [b]kleiner als[/b] [br]das Maß [math]\beta[/math] des [b][color=#0000ff]Neigungswinkels SM[sub]b[/sub]M der Seitenfläche[/color][/b] BCS zur Grundfläche.[br][/size] [br]
Begründung durch Rechnung:
[size=150] [br] [br] [br]Variation 1:[/size] [br][br]Jan behauptet: "Bei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche ist der Neigungswinkel der Kante immer kleiner als der Neigungswinkel einer Seitenfläche!" Er meint dabei Pyramiden, bei denen die Höhe senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche steht.[br][br]Nimm Stellung zu Jans Aussage.
[size=150] [br] [br] [br]Variation 2:[/size] [br][br]Sina behauptet: "Bei Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche gilt das ebenfalls: der Neigungswinkel der Kante ist immer kleiner als der Neigungswinkel einer Seitenfläche!" [br]Sie meint dabei ebenfalls Pyramiden, bei denen die Höhe senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche steht.[br][br]Stimmt auch Sinas Aussage? Nimm Stellung.