Come abbiamo detto in precedenza, se k=1 l'omotetia è l'identità, dunque tutti i punti in questo caso rimangono fissi. Allora, per vedere i casi non banali, [b]supponiamo che il rapporto k sia diverso da 1[/b].[br][br]Per calcolare i punti fissi imponiamo, nelle equazioni trovate precedentemente, che le coordinate del punto trasformato siano uguali a quelle del punto di partenza:[br][br][center][math]\bigg \{[br]\begin{array}{l}[br]x=x'=kx+(1-k)x_C \\[br]y=y'=ky+(1-k)y_C \\[br]\end{array}[/math][/center]Risolvendo si ottiene che:[br][br][center][math]\bigg \{[br]\begin{array}{l}[br](1-k)(x-x_C)=0 \\[br](1-k)(y-y_C)=0 \\[br]\end{array}[/math][/center]Dunque, poiché k è diverso da 1, queste relazioni valgono se e solo se [math]x=x_C, \ y=y_C[/math], ovvero [b]l'unico punto fisso di un'omotetia [/b](con rapporto diverso da 1)[b] è il centro C[/b].
In modo analogo ma con conti un po' più lunghi si può verificare che tutte e sole le rette che passano per il centro C dell'omotetia sono [b]rette fisse[/b], ovvero rette i cui punti vengono mandati dall'omotetia in punti (in generale [b]diversi[/b]) appartenenti alla stessa retta.[br][br]Con questa costruzione puoi capire cos'è una retta fissa per l'omotetia:
Una [b]retta di punti fissi [/b]per una trasformazione è una retta per cui [b]ogni punto che le appartiene è un punto fisso[/b] per la trasformazione.[br][br]Un'omotetia può avere rette di punti fissi?
Se invece [b]k è diverso da 1[/b] possono esistere rete di punti fissi?[br][br]Prova a rispondere con parole tue, inserendo anche una motivazione.