Integralrechnung in der gymnasialen Oberstufe

D. Bade, Jan 6, 2021

Einführung in die Integralrechnung

Table of Contents

  1. Von der Änderungsrate zum Bestand: Einstiegsbeispiele
    1. Von der Änderungsrate zum Bestand: Badetag
    2. Von der Änderungsrate zum Bestand: Fritzchens Bergwanderung
    3. Von der Änderungsrate zum Bestand: Fritzchens Bergwanderung (Fortsetzung)
    4. Von der Änderungsrate zum Bestand: Autofahrt
  2. Von der Änderungsrate zum Bestand: Mathematisierung
    1. Obersumme-Untersumme-Trapezsumme
    2. Aufgabe zur Streifenmethode
    3. Integralfunktion zeichnen lassen
    4. Zusammenhänge zwischen Randfunktion und Integralfunktion untersuchen
    5. Stammfunktionen zeichnen
  3. Flächeninhalt und Flächenbilanz
    1. Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen
    2. Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen (2)
  4. Feedback
    1. Mood
    2. Feedback

1.

Von der Änderungsrate zum Bestand: Einstiegsbeispiele

Anhand von drei Beispielen mit "Sachkontextbezug" wird die Problemstellung erläutert: wie kann man aus einer Funktion, die eine Änderungsrate beschreibt, Rückschlüsse auf einen Bestand ziehen?

  • 1. Von der Änderungsrate zum Bestand: Badetag
  • 2. Von der Änderungsrate zum Bestand: Fritzchens Bergwanderung
  • 3. Von der Änderungsrate zum Bestand: Fritzchens Bergwanderung (Fortsetzung)
  • 4. Von der Änderungsrate zum Bestand: Autofahrt

1.1.

Von der Änderungsrate zum Bestand: Badetag

Herr Schmitz bereitet sich auf sein geliebtes Wannenbad vor und lässt Wasser in die leere Wanne ein.[br]Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss- und Abflussrate dar [t in min; v(t) in Liter/min]:
Quelle: https://www.schulentwicklung.nrw.de/materialdatenbank/material/view/5620
Beschreiben Sie, wie Herr Schmitz das Wasser in die Wanne einlässt.[br]Berücksichtigen Sie dabei folgende Fragen:[br]Welche Zufluss- und Abflussraten kommen vor? Welche Bedeutung haben [br]Bereiche, in denen der Graph unterhalb der t-Achse verläuft? Ist es auch[br] möglich, dass Herr Schmitz zu einem Zeitpunkt sowohl den Wasserhahn [br]aufgedreht hat als auch den Abfluss öffnet?
Berechnen Sie die maximale Wassermenge, die im Verlauf des Bades in der Wanne gewesen ist.
Was stellt dieses Ergebnis geometrisch betrachtet dar? Untersuchen Sie dafür das folgende (geringfügig ergänzte) Applet.
Für t > 12 min soll v(t) konstant bleiben. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wanne vollständig entleert ist.
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion W, welche die Wassermenge in der Badewanne in Abhängigkeit von der Zeit angibt.[br]Beachten Sie die unterschiedlichen Skalierungen der y-Achse. Nur die schwarze Beschriftung bezieht sich auf die Zuflussrate. Die grüne Beschriftung bezieht sich auf das Volumen.
– D. Bade

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Von der Änderungsrate zum Bestand: Mathematisierung

Ausgehend von den vorgestellten Beispielen erfolgt nun die Mathematisierung des Problems: wie kann man aus einer vorgegebenen Änderungsrate Rückschlüsse auf den Bestand ziehen?

  • 1. Obersumme-Untersumme-Trapezsumme
  • 2. Aufgabe zur Streifenmethode
  • 3. Integralfunktion zeichnen lassen
  • 4. Zusammenhänge zwischen Randfunktion und Integralfunktion untersuchen
  • 5. Stammfunktionen zeichnen

2.1.

Obersumme-Untersumme-Trapezsumme

Variiere die Schieberegler in diesem Applet. Untersuche dabei den Einfluss auf die sogenannte "Obersumme", Untersumme" sowie "Trapezsumme".
Beschreibe die Auswirkung von n auf die grün gefärbte Fläche.
Beschreibe die Unterschiede zwischen Obersumme, Untersumme und Trapezsumme sowie den Zusammenhang zwischen den drei Größen.
– D. Bade

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Flächeninhalt und Flächenbilanz

  • 1. Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen
  • 2. Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen (2)

3.1.

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen

Ordne die Terme den passenden Grafiken zu. Du kannst das Fenster in den Vollbildmodus umschalten, indem du das Symbol in der rechten oberen Ecke anklickst.
– D. Bade

3.2.

–

4.

Feedback

  • 1. Mood
  • 2. Feedback

4.1.

Mood

– D. Bade

4.2.

–

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