Le ellissi possono essere di vario tipo sul piano cartesiano. In questa scheda vedremo e studieremo il caso di [b]ellissi con fuochi sugli assi cartesiani[/b].[br][br][u][b][color=#ff0000]Teorema[/color][/b][/u]: [color=#0000ff]un'ellisse [/color][i][color=#0000ff]con fuochi sugli assi cartesiani è [/color][color=#0000ff]il luogo dei punti del piano che sono soluzioni di un’equazione di secondo grado in due incognite del tipo:[br][/color][center][math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math][color=#0000ff][br]con a,b numeri reali non nulli[/color][/center][/i][br]Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di un'iperbole al variare dei suoi coefficienti algebrici [i]a,b[/i]. [br][br]Creiamo dunque un'iperbole seguendo queste semplici istruzioni:[br][list=1][*]Utilizzando lo strumento [i]Slider[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] definiamo il numero a, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore a=3.[/*][*]Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore b=2.[/*][*]Adesso nella parte [i]Algebra[/i] di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "x^2/a^2 + y^2/b^2=1" (senza le virgolette "").[br][/*][/list][br]Il risultato ottenuto dovrebbe essere simile a quello mostrato di seguito. Il foglio mostra anche altri dettagli non necessari, la cui utilità si comprende nel provare a rispondere alle domande.
Modificando il parametro [b]a [/b]come cambia la curva?
Modificando il parametro [b]b [/b]come cambia la curva?
Come cambia l'ellisse se [i]a<b[/i] o [i]a>b[/i] ?
Il parametro [math]c=\sqrt{\left|a^2-b^2\right|}[/math] è detto [i][b][color=#0000ff]semidistanza focale[/color][/b][/i], ed è uguale alla metà della distanza tra i due fuochi. Sapendo che i fuochi sono posizionati sempre su uno dei due assi cartesiani, e che il loro punto medio è l'origine, quali sono dunque le loro coordinate?
I punti in cui l'iperbole tocca gli assi cartesiani sono detti [i][b][color=#0000ff]vertici dell'ellisse[/color][/b][/i]. [br]Osservando come cambiano i punti di incontro dell'ellisse con gli assi al variare dei parametri [b]a[/b] e [b]b[/b], quali sono le coordinate dei vertici rispetto ad essi?
A seconda delle posizioni dei [i]vertici[/i], abbiamo sempre un [i][color=#0000ff]asse maggiore[/color][/i] e un [i][color=#0000ff]asse minore[/color][/i], che sono le distanze tra due vertici appartenenti allo stesso asse cartesiano.[br]C'è una relazione tra gli assi dell'ellisse e i parametri [b]a[/b] e [b]b[/b]? Se sì, descrivila.
Il rapporto tra la distanza dei due fuochi e la distanza dei due vertici reali è detta [i][color=#0000ff][b]eccentricità[/b][/color][/i] [i]dell'ellisse[/i] e viene indicata con la lettera "[i]e".[br][/i]Ricordando quanto valgono le distanze, ricava la formula per calcolare [i]e[/i] a partire dai parametri [b]a[/b] e [b]b[/b].
Analizzando l'espressione di [i]e[/i], spiega perché non è possibile ottenere valori di [i]e>[/i]1.
Prova a impostare i valori dei parametri [b]a[/b] e [b]b[/b] in modo da ottenere [i]e[/i]=0,2 ; [i]e[/i]=0,5 ; [i]e[/i]=8 .[br]Come cambia il grafico dell'ellisse al variare della sua [i]eccentricità[/i]?
[b][size=150][color=#ff00ff]Bonus[/color][/size][br][/b]L'ellisse definita in questa attività non è una [i]funzione[/i] matematica, perché associa ad ogni valore di [i]x[/i] più di un valore in [i]y[/i]. Ma se immaginassimo di tagliare l'ellisse in due lungo l'asse delle ascisse, otterremmo due "semiellissi" che non avrebbero più questo problema.[br][br]Riusciresti a determinare l'espressione di queste due funzioni?[br][br][size=85][[i]Suggerimento[/i]: se riesco ad esprimere una curva come [i]y=f(x)[/i] (cioè riesco ad isolare "y" a primo membro e ottenere a secondo membro un'espressione che contiene solo la variabile x) avrò sicuramente definito una funzione...][/size]