Si consideri la famiglia di funzioni [math]f_n\left(x\right)=2-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^n}[/math] con [math]n\in\mathbb{N}[/math] e [math]n>1[/math].[br][br][list][*]Verificare che tutte le curve rappresentate dalle funzioni della famiglia [math]f_n\left(x\right)[/math] passano per uno stesso punto e scrivere le sue coordinate. [/*][*]Determinare, in funzione del parametro [math]n[/math] le ascisse degli estremi e dei flessi e calcolarne il limite per [math]n\longrightarrow\infty[/math]. [/*][*]Scrivere le equazioni degli asintoti e tracciare i grafici delle funzioni [math]f_n[/math], evidenziando le differenze tra i casi in cui [math]n[/math] è pari da quelli in cui [math]n[/math] è dispari. [br][/*][/list]

Il dominio di [math]f_n\left(x\right)[/math], indipendente da [math]n\in\mathbb{N},n>1[/math] è [math]\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}[/math].[br][br]Risolvendo il sistema che si ottiene sostituendo all'espressione di [math]f_n\left(x\right)[/math] due valori, ad esempio [math]n=2[/math] e [math]n=3[/math], si ottiene il punto [math]P\equiv\left(1,2\right)[/math].[br]Sostituendo le coordinate di [math]P[/math] in [math]f_n\left(x\right)[/math] si ottiene un'identità, che mostra che il punto [math]P[/math] è comune a tutte le curve.[br][br]In generale:[br][img]data:image/png;base64,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[/img][br]quindi la retta di equazione [math]y=2[/math] è un asintoto orizzontale comune a tutte le funzioni. L'esistenza dell'asintoto orizzontale esclude l'esistenza di un asintoto obliquo.[br][br]Derivate:[br][br][math]f'_n\left(x\right)=3\frac{x^{n-1}-n}{x^{n+1}}[/math] e [math]f''_n\left(x\right)=3\frac{n\left(n+1\right)-2x^{n-1}}{x^{n+2}}[/math] [math]\forall n\in\mathbb{N},n>1[/math] e [math]\forall x\ne0[/math].[br][br][br][i][b]Nota[/b][/i]: I grafici delle funzioni che si ottengono per valori pari e dispari di [math]n[/math] sono illustrati di seguito. Utilizza gli slider per esplorare le funzioni.

[img]data:image/png;base64,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[/img][br]quindi la retta di equazione [math]x=0[/math] è asintoto verticale comune a tutte le funzioni con [math]n[/math] pari.[br][br]Studiando il segno della derivata prima, con [math]n[/math] pari, si ha che la funzione è:[br]- crescente in [math]\left(-\infty,0\right)\cup\left(\sqrt[n-1]{n},+\infty\right)[/math] [br]- decrescente in [math]\left(0,\sqrt[n-1]{n}\right)[/math][br]- ha un punto di minimo relativo in [math]x=\sqrt[n-1]{n}[/math][br][br]Studiando il segno della derivata seconda, con [math]n[/math] pari, si ha che la funzione:[br]- ha la concavità rivolta verso l'alto in [math]\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}\right)[/math][br]- ha la concavità rivolta verso il basso in [math]\left(\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}},+\infty\right)[/math][br]- ha un punto di flesso in [math]x=\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}[/math]

Studiando il segno della derivata prima, con [math]n[/math] dispari, si ha che la funzione è:[br]- crescente in [math]\left(-\infty,-\sqrt[n-1]{n}\right)\cup\left(\sqrt[n-1]{n},+\infty\right)[/math] [br]- decrescente in [math]\left(-\sqrt[n-1]{n},\sqrt[n-1]{n}\right)[/math][br]- ha un punto di massimo relativo in [math]x=-\sqrt[n-1]{n}[/math][br]- ha un punto di minimo relativo in [math]x=\sqrt[n-1]{n}[/math][br][br]Studiando il segno della derivata seconda, con [math]n[/math] dispari, si ha che la funzione:[br]- ha la concavità rivolta verso l'alto in [math]\left(-\infty,-\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}\right)\cup\left(0,\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}\right)[/math][br]- ha la concavità rivolta verso il basso in [math]\left(-\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}},0\right)\cup\left(\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}},+\infty\right)[/math][br]- ha due punti di flesso in [math]x=\pm\sqrt[n-1]{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}[/math]