[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 10[/size][/b][/color][br]Wie entwickelt sich die Kundenverteilung langfristig?

[b][color=#FFA252][size=150]Schematisierung in Übergangsmatrix und Bestandsvektor[/size][/color][/b][br]Zu der Frage, ob die im Diagramm festgestellten Tendenzen anhalten und wie die anfängliche Kundenmenge den Verlauf beeinflusst, haben die SuS Hypothesen formuliert und in GeoGebra mit dem Schieberegler überprüft.[br]Nun soll dem rechnerisch genauer auf den Grund gegangen werden.[br][br]Dazu werden die bisherigen Betrachtungen schematisiert in Matrix und Vektor:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_schematisierung_matrix_vektor_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_schematisierung_matrix_vektor.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=14][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252][size=150]Die Entwicklung mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor beschreiben und das Produkt Matrix∙Vektor definieren[/size][/color][/b][br]Ausgehend von Berechnung der Kundenzahlen nach einem Monat mithilfe des Baumdiagramms in Phase 11 wird nun die Multiplikation Übergangsmatrix⋅Bestandsvektor entwickelt.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/schematisierung_matrix_mal_vektor_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/schematisierung_matrix_mal_vektor_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=15][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/schematisierung_matrix_mal_vektor_2_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/schematisierung_matrix_mal_vektor_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=16][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]Es folgt die Definition einer Matrix und der Multiplikation mit einem Vektor (zunächst 2x2):[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrix_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrix.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=17][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrix_mal_vektor_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrix_mal_vektor.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=19][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252][size=150]Berechnung in GeoGeobra und Definition von Matrixpotenzen[/size][/color][/b][br]Im Arbeitsblatt[br][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/hkeazyts][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][color=#095EBC]M3 AB IV.2 Stabile Kundenzahlen[/color][/b][/url] [br]führen die SuS die obigen Berechnungen mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor in GeoGebra erneut durch. [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=24][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen_2_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=25][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]Dabei beantworten sie die Frage, wie man die Kundenzahlen nach dem n-ten Monat direkt berechnen kann, da jedes Mal mit der Übergangsmatrix multipliziert wird… [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen_3_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_entwicklung_der_kundenzahlen_3.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=26][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]GeoGebra führt die Matrizenmultiplikation durch, aber wie rechnet GeoGebra konkret?[br]Durch die Betrachtung der Gleichungen nach zwei Monaten und anschließend der Berechnung von [math]\vec{k_2}[/math] über die Multiplikation mit der Übergangsmatrix lässt sich die Definition der Matrixmultiplikation ableiten.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_herleitung_matrizenmultiplikation_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_herleitung_matrizenmultiplikation.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=27][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrizenmultiplikation_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_definition_matrizenmultiplikation.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=28][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]Hieran schließen sich Übungen zur Matrizenmultiplikation an, in denen durch Variation die Regel (n×m) ⋅ (m×k) gesichert wird.

[b][color=#FFA252][size=150]Stabilen Bestandsvektor direkt berechnen[/size][/color][/b][br]Nun wird die Vermutung untersucht, dass sich im Beispiel ein stabiler Bestandsvektor ergibt, für den dann [math]A⋅\vec{k_s} =\vec{k_s} [/math] gilt. Die Matrixgleichung wird durch Anwenden der Definition und hinzufügen der Zusatzbedingung x+y=50.000 in ein LGS überführt und dieses gelöst (per Hand oder mit GeoGebra):[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=31][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_2_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=32][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_3_cas.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_berechnung_von_k_s_3_cas.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=33][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252][size=150]Reflexion[/size][/color][/b][br]Abschließend können die SuS plausibilisieren, warum sich die Kundenanzahl bei beiden Streamingdiensten stabilisiert (Die Grundmenge der 20% die von G zu H wechseln wird weniger, die Grundmenge der 5% die von H zu G wechseln mehr). [br]Dabei sollten auch die Modellannahmen (genau zwei Streamingdienste, Gesamtzahl der Kunden konstant und gleichbleibender Mechanismus) bei der Interpretation der Ergebnisse beachtet werden.

[b][color=#FFA252][size=150]Optional: Grenzmatrix[/size][/color][/b][br]Die SuS untersuchen nun mit GeoGebra die Änderung der Übergangsmatrix (Potenzen bilden).[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_grenzmatrix_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_grenzmatrix_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=35][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]Es ergibt sich ein Grenzmatrix, die anschließend analytisch hergeleitet werden kann:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_grenzmatrix_2_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_grenzmatrix_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=36][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]2-4h + 2h Üben[br]

[size=150][color=#FFA252][b]Übungen [/b][/color][br][/size]Elemente der Mathematik LK RP 2017, S.190-193 mit GeoGebra[br]Lambacher Schweizer 2012, S. 176-178