F01 Egy szélsőérték probléma

[size=85]Adjuk meg a valós számok halmazán, az alábbi hozzárendelési szabállyal értelmezett függvény minimumát![br][math]f\left\langle x\right\rangle=\sqrt{\frac{5}{4}x^2-5x+25}+\sqrt{\frac{5}{4}x^2-24x+128}[/math][/size]
A függvény grafikonja
A derivált felhasználásával
[size=85] A matematikai analízis az emelt szintű érettségi vizsga anyaga. Meg lehet oldani a problémát középszintű eszközökkel?[br][/size][size=85]Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályában szereplő négyzetgyökös kifejezéseket![/size][br][math]\sqrt{\frac{5}{4}x^2-5x+25}=\sqrt{x^2+\left\langle\frac{1}{2}x-5\right\rangle^2}[/math].[br][img]data:image/png;base64,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[/img][br][size=85]A kapott kifejezések a koordinátageometriában a két pont távolságára emlékeztetnek. Ebből következően, legyen[br][math]A\left\langle0,5\right\rangle,B\left(8,8\right),P\left\langle x,\frac{1}{2}x\right\rangle[/math][/size]
[size=85]Ennek felhasználásával a probléma így fogalmazható:[br][/size][size=85]Az [math]y=\frac{1}{2}x[/math] egyenletű egyenes mely pontjára igaz, hogy a[math]PA+PB[/math][/size] [size=85]távolságősszeg minimális?[/size]
Mozgassuk a P pontot, vizsgáljuk a távolságösszeget!
[size=85]A figyelmes szemlélő észrevehette, hogy az átfogalmazással a tengelyes tükrözésnél tanult/tanított [url=http://www.jgypk.hu/mentorhalo/tananyag/Geometria_I/51_tengelyes_tkrzs.html]nagymama-piroska[/url] problémára jutottunk. A következő appleten meglehet nézni a szerkesztést és az abban szereplő geometriai objektumok [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Pont_(geometria)]koordinátageometria[/url]i jellemzését is. [/size]
[size=85]Végezetül vegyük számba, hogy milyen koordinátageometriai eszközöket használhatunk a probléma megoldásához![/size]
Adott egyenesre merőleges, adott pontra illeszkedő egyenes
Két egyenes metszéspontja
Pont egyenesre vonatkozó tükörképe
Két pontra illeszkedő egyenes
Két pont távolsága

Information: F01 Egy szélsőérték probléma