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Vetor Gradiente e Curva de Nível

Sergio Herman Bastos Lima, REDMAT - UFF, Nov 30, 2023

O livro de atividades adota uma abordagem visual com gráficos 3D para explorar conceitos do vetor gradiente e suas relações com curvas de nível. Os alunos são encorajados a interagir com Applets para resolver exercícios práticos, promovendo uma aprendizagem envolvente. A análise visual em gráficos tridimensionais aprofunda a compreensão do cálculo de várias variáveis. A integração de tecnologia acessível intensifica a experiência educacional, capacitando os alunos a explorar dinamicamente relações em funções multivariáveis. O objetivo é proporcionar uma compreensão sólida e prática desses conceitos matemáticos.

1. Introdução ao Vetor Gradiente
2. Vetor Gradiente - Aprofundando Conceitos
3. Treinamento em Gradiente e Curva de Nivel
4. Gradiente - Exercícios de Fixação

1.

Introdução ao Vetor Gradiente

Conceitos iniciais

Podemos calcular o vetor gradiente em qualquer ponto de uma função [math]f[/math] de várias variáveis.[br]O [b]Applet[/b] abaixo permite a visualização do vetor gradiente [math]\bigtriangledown f[/math] em vermelho na coluna central.[br][br][color=#999999][size=150][b]Interatividade com o Applet:[br][/b][/size][/color] 1. Utilize o controle deslizante para fixar um valor para z (ou seja, escolher um nível k) e obter uma curva de nível.[br] 2. Arraste o ponto na curva de nível para visualizar a direção e magnitude do vetor gradiente em diferentes pontos.[br] 3. Desmarque as caixas para ocultar componentes específicos do Applet.[br]

Questão 01:

Sobre o número de dimensões do vetor gradiente:

Uma função de duas variáveis pode ser plotada em um sistema de 3 coordenadas. Portanto, seu vetor gradiente contém três coordenadas, sendo mais adequado representá-lo no espaço tridimensional. O vetor gradiente tem sempre uma dimensão a menos que a função da qual se está extraindo seu valor. Assim, não é adequado representar o vetor gradiente no mesmo sistema de coordenadas onde a função está representada. O vetor gradiente tem o mesmo número de dimensões que a função da qual se está extraindo seu valor, e a representação do vetor gradiente vista na coluna central do Applet é uma projeção da representação que pode ser vista na coluna da direita.

Questão 02:

É possível perceber que, para a função dada, todas as curvas de nível são círculos com centro na origem dos eixos de coordenadas. O que se pode afirmar sobre a direção do vetor gradiente?

Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a função está sendo representada. O vetor gradiente aponta para o sentido onde a curva tem maior inclinação, ou seja, o ponto (0, 0). Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a curva de nível da função está sendo representada.

QUESTÃO 03:

Selecionando k = 4 e escolhendo o ponto (0, 2) na curva de nível, pode-se afirmar que:

O vetor poderia ser representado em qualquer lugar, e não deixaria de ser o vetor gradiente no ponto (0, 2), uma vez que para definir um vetor é necessário apenas módulo, direção e sentido. No ponto (0, 2, 4), o tamanho do vetor gradiente é 4. Ao reduzir o valor de k de 4 para 1, o ponto em análise passa a ser (0, 1, 1). Nele, o tamanho do vetor gradiente também cai de 4 para 1. O vetor gradiente tem coordenadas (0, 4), mas sua ponta está no ponto (0,6). Uma normalização do vetor poderia corrigir este problema.

Questão 04:

Sobre a função definida no Applet, marque a [b]única[/b] sentença verdadeira.

Sempre que o vetor gradiente tiver tamanho zero estamos em um ponto máximo ou mínimo local. Pode-se observar que, ao selecionar o valor 0 para k, verifica-se que o vetor gradiente tem tamanho 0, e ao selecionar o valor 4 para k verifica-se que o módulo do vetor gradiente também é 4. Portanto, o tamanho do vetor gradiente é igual ao nível k da Curva de Nível. Para esta função, o tamanho do vetor gradiente em um ponto específico é sempre o dobro do raio do círculo que representa a curva de nível que contém aquele ponto.

QUESTÃO 05:

Sobre a função definida no Applet, marque as sentenças verdadeiras [b](MÚLTIPLAS VERDADEIRAS)[/b]

No ponto (0, -1, 2) o vetor gradiente vale (0, -2). No ponto (1, 0, 1) o vetor gradiente vale (0, 2). No ponto (-1, 1, 2) o vetor gradiente vale (-2, 2) O ponto (1, 1, 2) não pertence à função. No ponto (0, -2, 4) o vetor gradiente vale (0, -4).

– Sergio Herman Bastos Lima

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