Sea [color=#ff7700][b]P [/b][/color]un puntp del interior del triángulo [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], y sean [color=#ff00ff][b]PU[/b][/color], [color=#ff00ff][b]PV[/b][/color] y [color=#ff00ff][b]PW[/b][/color] segmentos perpendiculares a los lados. Entonces se tiene que[br][br][b][color=#ff0000]PA[/color] + [color=#ff0000]PB[/color] + [color=#ff0000]PC[/color] ≥ 2([color=#ff00ff]PU[/color] + [color=#ff00ff]PV[/color] + [color=#ff00ff]PW[/color])[/b][br][br]La igualdad solo se da si el triángulo es equilátero y [b][color=#0000ff]P[/color][/b] es el circuncentro. En este caso los segmentos del primer miembro de la desigualdad son iguales al radio de la circunferencia circunscrita, y los del lado derecho al radio de la inscrita.

Pulsando los botones correspondientes, el triángulo se transforma en equilátero y el punto [b][color=#ff7700]P[/color][/b] se sitúa en el circuncentro [color=#0000ff][b]O[/b][/color]. En cualquier momento puede desplazarse libremente el vértice [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y el punto [color=#ff7700][b]P[/b][/color], éste último limitado al interior del triángulo.[br][br]La demostración es sencilla, consiste en adosar al [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] escalado un factor [b][color=#ff0000]l[/color][/b], dos triángulos semejantes a [color=#38761d][b]△APV[/b][/color] y [b][color=#38761d]△APW[/color][/b], escalados por un factor [color=#0000ff][b]c[/b][/color] y [color=#0000ff][b]b[/b][/color] respectivamente. Se forma así un trapecio rectángulo, cuya arista perpendicular a las bases mide [b]cv + bw[/b], y la no perpendicular [b]al[/b]. Por tanto, es [b]al ≥ cv + bw[/b]. Repitiendo el proceso con los vértices [b][color=#0000ff]B [/color][/b]y [color=#0000ff][b]C[/b][/color] y sumado las tres desigualdades, se obtiene la desigualdad deseada.

Se usa que [b]x + 1/x ≥ 2 ∀x > 0[/b], desigualdad que se demuestra fácilmente:[br][br][b]x + 1/x ≥ 2 ⇔ x² + 1 ≥ 2x ⇔ x² - 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x- 1)² ≥ 0 □[/b][br][br]La igualdad solo se da si [b]x = 1[/b]. Esto implica que [b][color=#0000ff]a/b = b/a = a/c=c/a = b/c = c/a = 1[/color][/b], y el triángulo debe ser equilátero.[br][br]Por otra parte, para que se de la igualdad, el trapecio obtenido en la segunda figura debe ser un rectángulo. Es decir, que los ángulos [b]α_1 + β[/b] y [b]α_2 + γ[/b] sean rectos. De esto se deduce que [b]∠VPA = β[/b] y [b]∠APW = γ[/b].[br][br]Considerando los otros dos trapecios formados sobre los otros lados , concluimos que[br][br][b]∠VPA = ∠CPV = β, ∠APW = ∠WPB = γ, ∠BPU = ∠UPC = α[/b][br][br]Lo que implica que [b][color=#ff7700]P [/color][/b]es el circuncentro del [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b].[br][br]Es decir, la igualdad solo se da si [b][color=#ff7700]P[/color][/b] es el circuncentro de un triángulo equilátero.[br][br]Por otra parte, si se se aplica la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Medias0.html]desigualdad de las medias aritmética y geométrica[/url] al segundo miembro de las tres desigualdades intermedias, se tiene que:[br][br][b]al ≥ 2√(cvbw),    bm ≥ 2√(awcu),    cn ≥ 2√(buav)[/b][br][br]Multiplicando las tres miembro a miembro y simplificando [b][color=#0000ff]abc[/color][/b],[br][br]     [b][color=#ff0000]lmn[/color] ≥ 8[color=#ff00ff]uvw[/color][/b][br][br]Tomado de [i]A Visual Proof of the Erdös-Mordell Inequality[/i] (Claudi Alsina and Roger B. Nelsen, Forum Geometricorum Vol. 7 (2007) pp. 99-102).[br][br]