El Teorema del [b]Binomio de Newton [/b]fue descubierto en 1665, su importancia es que a partir de este hallazgo Newton y los matemáticos de la época intuyeron que era posible operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas siendo este principio de un sin número series infinitas que aparecerían más adelante.[br]
[size=100]El triangulo de Pascal esta formado por los coeficientes de cada término del [b]Binomio a la n potencia .[br][/b]Cada número dentro del triángulo es producto de la fórmula combinatoria:[br][/size][br][math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math][br][br][size=100]Además 2 números consecutivos de una fila sumados dan el número de la fila inferior inmediata.[/size]
[size=150][br]DESARROLLO DEL BINOMIO[/size][br][br][math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math][br][br][math]\left(x+y\right)^n=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k[/math][br][br][math]\left(x+y\right)^n=\binom{n}{0}x^{n-0}y^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2....+\binom{n}{n}x^{n-n}y^n[/math][br][br][math]\left(x+y\right)^n=x^n+nx^{n-1}y+\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}y^2+...+y^n[/math]
El número de [b]términos[/b] será igual a [b](n+1)[/b][br][br][math]t_k=\binom{n}{k}x^{n-k}y^k[/math][br] [br]Primer Término k=0[br][br][math]t_0=\binom{n}{0}x^{n-0}y^0=\frac{n!}{0!\left(n-0\right)!}x^ny^0=\frac{n!}{n!}x^n=x^n[/math][br][br]Segundo Término k=1[br][br][math]t_1=\binom{n}{1}x^{n-1}y^1=\frac{n!}{1!\left(n-1\right)!}x^ny^1=\frac{n!}{\left(n-1\right)!}x^n=nx^{n-1}[/math][br] [br]EJEMPLOS[br][br]Hallar el 4to término de :[br][math]\left(x+2\right)^3[/math][br][br]Desarrollo:[br]Para el 4to término k=3[br][math]t_3=\binom{3}{3}x^{3-3}2^3=\frac{3!}{3!\left(3-3\right)!}x^02^3=\frac{3!}{3!}2^3=2^3=8[/math][br] [br]Hallar el 3er término de :[br][math]\left(x-2\right)^3[/math][br][br]Desarrollo:[br]Para el 3er término k=2[br][math]t_2=\binom{3}{2}x^{3-2}\left(-2\right)^2=\frac{3!}{2!\left(3-2\right)!}x^1\left(-2\right)^2=\frac{3!}{2!1!}x\left(-2\right)^2=4.3.x=12x[/math][br]
