[size=150]Das Programm Geogebra kann zum Graphen der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=b^x[/math] den Graphen der Ableitung f' darstellen.[br][list=1][*]Die Funktion f ist eine Exponentialfunktion. Das ist grafisch daran feststellbar, dass der Graph für [math]x\neg-\infty[/math] der x-Achse annähert. Begründen Sie, dass auch f' eine Exponentialfunktion sein muss.[/*][*]Variieren Sie die Basis "b" und beobachten Sie den Verlauf der Graphen. Untersuchen Sie, ob es eine Basis "b" gibt, für die die Funktion f und die Ableitung f' gleich sind. Bestimmen Sie ggf. diesen Wert.[/*][*]Jede Exponentialfunktion ist umschreibbar, sodass sie eine andere Basis annimmt. Das liegt am Logarithmus, der Umkehroperation zum Potenzieren. Es gilt im Allgemeinen: [math]log_{_b}\left(b^x\right)=x[/math]. Daher kann man jede Funktion f, z. B. mit [math]f\left(x\right)=2^x[/math] so umschreiben, dass man z. B. [math]f\left(x\right)=2^x=log_3\left(3^{2x}\right)[/math] schreiben kann (Potenzregel [math]a^{n^m}=a^{n\cdot m}[/math]). Es lassen sich also auch alle Exponentialfunktionen so umschreiben, dass sie die Basis aus 2. besitzen. Stellen Sie Vermutungen über den Nutzen dieser besonderen Basis unter Berücksichtigung der möglichen Umschreibung an.[br][/*][/list][/size]