このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br][br]光は波動波が優位と思われた矢先、[br]光電効果が見つかり、アインシュタインの光量子仮説が出てからは、[br]光は波であるだけでなく、粒でもある。[br]つまり、[b]光はつぶ波[/b]？という流れになった。[br][br]このつぶ波が電子にもあてはまるというのが、今回の内容。[br][b]電子もつぶ波[/b]？[br]

[size=150][b]＜[/b][b]長岡・ラザフォードの模型＞[br][/b][/size][br]ガスを閉じ込めた管に電流を流すと光がでる。[br]その光を分光器で調べると、波長のスペクトルが線となって出てくる。線と原子は対応していて、[br]水素原子のスペクトルの波長を調べると、364.5の有理数倍になることをバルマーさんがみつけた。[br][b]バルマーは波長λ＝364.5×(n[sup]2[/sup]/(n[sup]2[/sup]-4))という公式[/b]を見つけた。[br][br]そこから、[b]原子の構造を探る動きが加速する[/b]。[br][br]トムソンの中心のないスイカ型[br]長岡半太郎の中心のある土星型[br][br]1897に電子が見つかり、1911に原子核が見つかった。[br][br]ラザフォードのα線（ヘリウムイオン）を原子に当てる散乱実験により、原子の質量が中心に固まっていることがわかり、土星型が支持される。[br][b]半径rで円運動をしている電荷eの電子[/b]の加速度は[br]遠心力F=ma=mrω[sup]2[/sup]=1/4πε[sub]0[/sub] * e[sup]2[/sup]/r[sup]2[/sup]をmで割って、[br]a=v[sup]2[/sup]/r=rω[sup]2[/sup]=e[sup]2[/sup]/m4πε[sub]0[/sub] r[sup]2[br][/sup]エネルギーE=-1/2 mv[sup]2[/sup]=-1/2 m *r a =-1/2 m * e[sup]2[/sup]/m4πε[sub]0[/sub] r[br]=-e[sup]2[/sup]/8πε[sub]0[/sub] r[br]しかし、[b]電子[/b]は荷電していて加速度運動をしているので、電磁波を出してエネルギーを失い、[br][b]一瞬で原子核に落ち込む[/b]などの問題が指摘された。

[b][size=150]＜ボーアの模型＞[/size][/b][br][br]原子は定常状態ではとびとびのエネルギーをもつ。[br][b]E= E0,　E1,　E2,　....[br][/b][color=#0000ff][b][size=150]光のエネルギーhν[/size][/b][/color]の出し入れに伴い、電子は定常状態を渡る。[br][br][b][size=150]＜振動数条件（これはラザフォードと同じ）＞[br][/size][/b]水素の原子モデル[br]定常状態での電子は古典物理で運動がかける。[br]電子が原子核＋eの周りを電子-eが等速円運動をするとき、[br](A)電子が受ける力はF=ma=mv[sup]2[/sup]/r= e[sup]2[/sup]/4πε[sub]0[/sub]r[sup]2[/sup][br](B)エネルギーはE=T+V=1/2 mv[sup]2 [/sup]-∫Fdr= - e[sup]2[/sup]/8πε[sub]0[/sub] r[br]rが決まればエネルギーEが決まるということ。[br]ここまではｒは連続的に変われる。[br][br][b]＜量子化条件（ボーアの角運動量のつぶ）＞[br][color=#0000ff]そこで、ボーアはｒをぶつぶつに切るために、[br][/color][/b]角運動量の量子化したものｌ＝n [math]\hbar[/math] （n=1,2,3,...) （[b]ディラック定数 [/b][math]\hbar[/math][b] ＝h/2π[/b]）を導入する。[br](C)ｌ＝｜ｌ｜＝｜r×ｐ｜＝|r||p|sinθ＝mvr= n [math]\hbar[/math] [br](A)の両辺にmr[sup]3[/sup]をかけて、(C)から、me[sup]2[/sup]r/4πε[sub]0[/sub] = (mvr)[sup]2[/sup]=n[sup]2[/sup] [math]\hbar[/math] [sup]２[br][/sup]ｒについて解くと、r[sub]ｎ[/sub]＝4πε[sub]0[/sub] n[sup]2[/sup] [math]\hbar[/math] [sup]2[/sup]/me[sup]2[/sup]=n[sup]2[/sup]a[sub]0 [/sub](a0= a0= 5.3×10[sup]-11[/sup]）量子化された回転半径[br]E[sub]n[/sub]=-1/2n[sup]2[/sup](e[sup]2[/sup]/4πε[sub]0[/sub] a[sub]0[/sub])= -1/2n[sup]2[/sup] E[sub]h　[/sub]（E[sub]h[/sub]=27.2114eV）量子化された定常状態エネルギー[br]この発想で計算すると、水素原子でのエネルギー遷移のバルマー公式が確認された。[br]しかし、計算上合うという段階、無理やり感はぬぐえない。[br]ボーアモデルは、[b][color=#0000ff]電子が荷電粒子で加速度運動をするから定常状態は不可能[/color][/b]。[br][br]

[b][size=150]＜ド・ブロイの物質波＞[br][/size][/b][br]そこで、電子もつぶ波ならば、定在波で離散スペクトルが説明できるのではないかと[br]ド・ブロイは考えた。[br]電子という物質も波という性質があるだろう。だから物質波。[br][br]電子を波としたときの[b]振動数ν[/b]と[b]波長λ[/b][br]つぶとしてのエネルギーEと[b]運動量ｐ[/b]、これらをつなげることで、[br]電子も光と同じくつぶ波、つまり、量子だといえるのではないか？[br][br]光子のエネルギーE＝hνから、[br][size=200][color=#0000ff]振動数[b]ν＝E/h[/b][br][/color][/size]特殊相対性理論のローレンツ変換の縮小係数k=sqrt(1-(v/c)^2)により、[br]自由粒子運動の電子ではポテンシャルエネルギーV=0として、[br]ラグラジアンL=T-V=-ｍc^2 *kとする。 [br]一般化運動量ｐ=∂L/∂x'=∂/∂v(-ｍc^2 *sqrt(1-(v/c)^2))=-ｍc^2 1/2 /k (-2v/c^2)= [b]mv/k[br][/b] これから、p^2=m^2v^2/((c^2-v^2)/c^2)= m^2v^2c^2/(c^2-v^2)[br] p^2c^2-p^2v^2=m^2v^2c^2 [br] [b]v^2=(cp)^2/((mc)^2+p^2)[/b][br]ハミルトニアンH=x' p -L=vmv/k -(-mc^2*k)=.....=mc^2/k[br]　＝mc^2/sqrt(1- [b]p^2/((mc)^2+p^2)[/b])=......=[b][color=#0000ff]sqrt([/color](mc[/b][sup]2[/sup][b])[/b][sup]2[/sup][b]+(cp)[/b][sup]2[/sup])[br]だから、[br][b][color=#0000ff][size=200]自由粒子の力学的エネルギー[br]Ｅ＝sqrt((mc[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]+(cp)[sup]2[/sup])[br][/size][/color][br]電子には質量があるけれども、もしも光子同様m=0とすると、[size=150][color=#0000ff]E=cp[br][/color][/size][/b]光速c=波長λ×振動数ν =λν[br]振動数ν=E/h=c/λとなり、[b][color=#0000ff]Ｅ＝ch/λ[/color][/b][br][b]このＥの2式より、ｐ＝ｈ/λだから、[/b][b][size=200][color=#0000ff][br]波長λ=h/p[br][/color][/size][br][/b]これで、電子の波としての波長λとつぶとしての運動量ｐが１つにつながった！[br][br][b][size=150]＜電子でもヤング実験しよう＞[br][/size][/b][br]１個の電子のヤングの2重スリット実験[br]1個ずつ電子を飛ばすと、1個のあとがスクリーンに残るという粒らしさが毎回確認できる。[br]1個の電子を放射すると、電子は自分と干渉するという波らしさがある。[br]電子放射を続けると干渉した結果としての縞模様が現れる。より波らしさが残る。[br]ボーアの量子条件はmvr=n [math]\hbar[/math] [br][b]λ=h/p＝h/mv[br][br][/b][size=150][size=200][color=#0000ff]円周2πｒ＝nh/[/color][b][color=#0000ff]mv=nλ[br][/color][/b][/size][color=#0000ff]＝波長が整数個ピッタリ入る。[br][br][/color][color=#9900ff][u][b]課題：ドブロイの定常波をgeogebraでかくにはどうしたらよいでしょうか。[br][/b][/u][/color][size=100][br]変数をスライダーにしましょう。[br]nは波の数[code]1から10で1刻みでアニメーションすると変化がわかりやすいです。[/code][br]Aは振幅で0から1で0.1刻みで0.6が初期値、軌道半径[code]rは1以上5以下で0.1刻みで3.7が初期値。[br]定常波は極座標にします。[br]一定の円はa=Curve(r（cos(t),sin(t)) ,t, 0, 2π) になります。[br]これを点線で書いておきます。[br]同じ周期の円f=Curve(R（cos(t),sin(t)) ,t, 0, 2π)を実線でかきます。[br]このR自体が、起動半径ｒを中心に波打つようにしたいですね。[br][br]たとえば、R=r+Asintにすると、Rとaの周期と同じです。[br]ｔ=０,π,2πでR=rとなり、f=aとなります。[br]ｔ=0.5π,1.5πでR＝r±Aとなるので、RはAだけ凸凹しますね。[br]fのR＝r+Asin(nt)とすると、sinが進む振動がｎ倍になり、周期がｎ分の１になるでしょう。[br]だから、最終的にはf=Curve((r+A sin(n t))（cos(t),sin(t)) ,t, 0, 2π)とすればいいですね。[br][br]自然の描写のために、正の数、負の数、有理数、無理数、虚数を含む複素数と[br]どんどん数自体を連続させて、拡大してきたのに、ここにきて、量子化[br]つまり、つぶつぶの整数に回帰するというのが不思議な感じですね。[br][br][/code]スライダーでk＝slider(0,2pi)として、[br]b=Curve((r+A sin(n t))cos(k)（cos(t),sin(t)) ,t, 0, 2π)を作ると、[br][/size][/size]周期はそのままで、波打つつぶ波が見られるよ。