[justify]Η σφαίρα αφήνεται από αρχικό ύψος [math]h_0[/math] να ολισθήσει σε λεία σιδηροτροχιά (επιλέξτε "Ολίσθηση, χωρίς κύλιση"). [/justify][justify]Κατά την κίνηση της σφαίρας η Μηχανική Ενέργειά της διατηρείται, εφόσον το ολικό έργο των μη διατηρητικών δυνάμεων (κάθετη δύναμη [math]\vec{N}[/math]) είναι μηδενικό: Το άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργεια τού συστήματος Σφαίρας - Γης και της κινητικής ενέργειας της σφαίρας παραμένει σταθερό. Χρησιμοποιώντας ενεργειακά επιχειρήματα μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας τής σφαίρας συναρτήσει του αρχικού ύψους [math]h_0[/math] και τού ύψους [math]y[/math] στο οποίο βρίσκεται η σφαίρα:[/justify][center][math]v\left(y\right)=\sqrt{2g\left(h_0-y\right)}[/math] (1)[/center][center][/center][justify][/justify][justify]Προϋπόθεση για οποιανδήποτε κυκλική κίνηση είναι η [b]ακτινική συνιστώσα[/b] της συνισταμένης δύναμης, [math]Σ\vec{F}_r[/math], να είναι [b]κεντρομόλος[/b], δηλαδή να έχει μέτρο ίσο με [math]\frac{mv^2}{r}[/math]. Στην ειδική περίπτωση που η εφαπτομενική στην τροχιά (επιτρόχιος) συνιστώσα της συνισταμένης δύναμης, [math]Σ\vec{F}_t[/math], είναι μηδενική, τότε το σώμα εκτελεί Ομαλή Κυκλική Κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα [math]\vec{ω}[/math]. Εάν η [math]Σ\vec{F}_t[/math] είναι μη μηδενική (όπως εδώ), τότε η κίνηση είναι Μεταβαλλόμενη Κυκλική, αφού εμφανίζεται γωνιακή επιτάχυνση και η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται.[/justify][justify][br]Ως εκ τούτου, για να μπορέσει η σφαίρα να διαγράψει την κατακόρυφη κυκλική τροχιά - να εκτελέσει [b]Ανακύκλωση [/b]- θα πρέπει [math]ΣF_r=B_r+N=\frac{mv^2}{r}[/math]. Όμως, υπάρχει ο περιορισμός ότι [math]N\ge0[/math]. Συνεπώς, [math]mg\left(\frac{y}{r}-1\right)+N=\frac{mv^2}{r}\Longrightarrow v\ge\sqrt{g\left(y-r\right)}[/math]. Η συνάρτηση [math]f\left(y\right)=\sqrt{g\left(y-r\right)}[/math] παίρνει τη μέγιστη της τιμή στο κλειστό διάστημα [math]y\in\left[0,2r\right][/math] για [math]y=2r[/math]. Επομένως, θα πρέπει στο ανώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της η σφαίρα να έχει ταχύτητα μέτρου:[/justify][center] [math]v\ge\sqrt{gr}[/math] (2).[/center]Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει το [b]ελάχιστο ύψος[/b] απ' το οποίο μπορεί να αφεθεί η σφαίρα και να εκτελέσει ανακύκλωση [u]ολισθαίνοντας:[/u] [br][center][math]h_{0,min}=\frac{5}{2}r=2,5r[/math],[/center]όπου ουσιαστικά στην ανάλυσή μας θεωρήσαμε τη σφαίρα ως υλικό σημείο. [br][br]Στην περίπτωση που η σφαίρα [b]κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει[/b], θα πρέπει να τη θεωρήσουμε ως εκτεταμένο στερεό σώμα (σφαίρα ακτίνας [math]ρ[/math]), το οποίο -πέραν της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης- έχει και κινητική ενέργεια εκ περιστροφής: Η Ολική Κινητική Ενέργεια ισούται με [math]Τ=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Iω^2[/math], όπου [math]v[/math] η ταχύτητα τού ΚΜ, [math]I=\frac{2}{5}mρ^2[/math] η ροπή αδράνειας της σφαίρας και [math]ω_φ[/math] η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται γύρω από το ΚΜ της. Για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει να ισχύει [math]v=ω_φ\cdotρ[/math]. Συνεπώς, [math]Τ=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{5}mv^2[/math] και [math]v=\sqrt{\frac{10}{7}g\left(h_0-y\right)}[/math]. Καταλήγουμε, έτσι, ότι το ελάχιστο ύψος από το οποίο θα πρέπει να αφεθεί η σφαίρα, ώστε να εκτελέσει ανακύκλωση κυλιόμενη, είναι [math]h_{0,min}=\frac{27}{10}r=2,7r[/math], δηλαδή μεγαλύτερο κατά 8% από το αντίστοιχο ύψος για ανακύκλωση με ολίσθηση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στην Ανακύκλωση με κύλιση μέρος της [math]Ε_{μηχ}[/math] της σφαίρας θα μετατραπεί σε κινητική ενέργεια περιστροφής (το επιπλέον 8% της [math]Ε_{μηχ}[/math]), και ως εκ τούτου, απαιτείται μεγαλύτερη αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (άρα μεγαλύτερο αρχικό ύψος), ώστε η σφαίρα φτάνοντας στο ανώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της να έχει την ελάχιστη απαιτούμενη μεταφορική κινητική ενέργεια. [br][br][u]Παρατηρήσεις:[/u][br]Στην προσομοίωση, οι ακτίνες [math]R[/math] και [math]r[/math] αναφέρονται στις ακτίνες της τροχιάς τού ΚΜ τής σφαίρας. Συγκεκριμένα, το κυκλικό τόξο (τμήμα της αυλακωτής τροχιάς από το οποίο αφήνεται αρχικά η σφαίρα) έχει ακτίνα [math]R+ρ[/math], ενώ ο κύκλος όπου η σφαίρα κάνει την ανακύκλωση έχει ακτίνα [math]r+ρ[/math], όπου [math]ρ[/math] η ακτίνα της σφαίρας.