Quadratische Funktionen
1) Einführung
Im Folgenden schauen wir uns erste wichtige Eigenschaften von quadratischen Funktionen an. Viele Zusammenhänge aus der Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft können mithilfe von quadratischen Funktionen beschrieben werden.[br][br]Die folgenden Bilder zeigen dir, wo sich Parabeln im Alltag wiederfinden.
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 1
Wir betrachten ein Beispiel genauer. Die Wasserfontäne eines Springbrunnens besitzt ebenfalls die Form einer Parabel. Man kann sie also mit einer quadratischen Funktion modellieren.[br][br]Die Funktionsgleichung jeder quadratischen Funktion lautet:[br][br][math]f(x)=a \cdot x^2 +b \cdot x +c[/math][br][br]Die Buchstaben a, b und c sind sogenannte Parameter (bei linearen Funktionen waren die Parameter k [Steigung] und d [y-Achsenabschnitt]). Je nachdem, welche Zahlenwerte man für a, b und c wählt, verändert sich das Aussehen der Parabel.[br][br]Wir möchten eine Funktionsgleichung finden, sodass die Parabel genau die Fontäne beschreibt. Bearbeite die drei Schieberegler dafür folgendermaßen:[br][br][list][*]Stelle a=-1 ein.[/*][*]Stelle b=6,9 ein.[/*][*]Versuche selbst herauszufinden, welchen Wert c besitzen muss.[/*][/list]
Frage 1
Gib an, welchen Wert du für den Parameter c gewählt hast, damit Parabel und Fontäne übereinstimmen!
Frage 2
[code][/code]Die Funktion [math]f\left(x\right)[/math] stellt die Höhe [math]f[/math] des Wassers über dem Erdboden in Abhängigkeit vom Ort [math]x[/math] dar (beides in Metern).[br][br][b]MERKE[/b]:[br]Der Scheitelpunkt S ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Funktion [math]f[/math] in der Form S[math]=\left(x;y\right)[/math] an, indem du ihn aus dem Koordinatensystem abliest!
Frage 3
Welche Höhe über dem Erdboden besitzt die Fontäne am Ort [math]x=6[/math]?[br][br]Das heißt: Welchen Funktionswert hat die Funktion an der Stelle [math]x=6?[/math]
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 2
Schauen wir uns ein weiteres Anwendungsbeispiel an![br][br]Die Höhe [math]h[/math] einer Rakete (in m) in Abhängigkeit von der Zeit [math]t[/math] (in s) wird durch folgende quadratische Funktion modelliert:[br][br][math]h\left(t\right)=-5t^2+30t+27[/math][br][br]Gib diese Funktion im untenstehenden GeoGebra-Applet ein![br]Tipp: Wenn du in der Menüleiste auf das Symbol [icon]/images/ggb/toolbar/mode_translateview.png[/icon] klickst, kannst du die Ansicht vergrößern/verkleinern.
Frage 1
Ermittle grafisch, welche Höhe die Rakete nach 2 Sekunden erreicht! Wie bist du dabei vorgegangen?
Frage 2
Ermittle nun rechnerisch, welche Höhe die Rakete nach 4 Sekunden erreicht! Klicke dazu in die Eingabezeile in GeoGebra und setze passend in die Funktionsgleichung ein!
Frage 3
Ermittle grafisch, zu welchen Zeitpunkten die Rakete eine Höhe von 52 m erreicht![br][br]Wieso sind dies zwei Zeitpunkte? Kannst du dafür eine Erklärung finden?
Frage 4
Lies die maximale Höhe aus der Grafik ab. Gib auch an, wann die Rakete diese Höhe erreicht. [br][br]Wie nennt sich dieser Punkt einer Parabel immer? (vgl. Aufgabe 1)
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 3
Jetzt schauen wir uns die Gleichung einer quadratischen Funktion noch ein bisschen genauer an!
Spezialfall: Normalparabel
Es gibt einen ganz bestimmten Fall einer quadratischen Funktion. Wenn du die Parameter mit a=1, b=0, c=0 wählst, dann wird aus der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] die Gleichung [math]f\left(x\right)=x^2[/math]. Den zugehörigen Graph nennt man Normalparabel oder Grundparabel. [br][br]Die grüne Funktion [math]f\left(x\right)[/math] beschreibt eine Normalparabel.
Frage 1 - was macht der Parameter a mit der Funktion?
Aktiviere nun die quadratische Funktion [math]g\left(x\right)[/math] (rot), indem du auf das Innere des roten Kreises klickst.[br][br]Verändere nun den Parameter a mithilfe des Schiebereglers. Wie verändert sich der zugehörige Funktionsgraph im Gegensatz zur Normalparabel, wenn a in folgendem Intervall liegt?[br][list][*]a[math]\in[/math](0,1)[/*][*]a>1[/*][*]a=-1[/*][*]a[math]\in[/math](-1,0)[/*][*]a<-1[/*][/list]
Frage 2 - was macht der Parameter c mit der Funktion?
Verändere die Funktion [math]g\left(x\right)[/math] zurück zur Normalparabel, stelle also die Parameter wieder zurück auf a=1, b=0, c=0.[br][br]Verändere nun den Parameter c mithilfe des Schiebereglers. Wie verändert sich der zugehörige Funktionsgraph im Gegensatz zur Normalparabel, wenn c im folgenden Intervall liegt?[br][list][*]c<0[/*][*]c>0[/*][/list]
Wie sich der Parameter b auf die Funktion auswirkt, schauen wir uns nicht an, denn das ist nicht so einsichtig und auch nicht so wichtig.[br][br]Falls du hier angekommen bist, dann kannst du dir auf die Schulter klopfen, denn jetzt kennst du quadratische Funktionen schon besser! Nächstes Mal, wenn du den Christkindlmarkt am Wiener Rathausplatz besuchst, wirst du sicherlich wissen, welche Form der Eingang besitzt ;)
