Die Exponentialfunktion f: x ⟼ b⋅aˣ

Aufgabe 1. Untersuchung der Standard-Exponentialfunktion f(x) = aˣ

Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion [math]f:x\mapsto a^x[/math] für verschiedene Wachstumswerte a.

Definitionsbereich der Funktion f(x) = a^x

Welchen maximalen Definitionsbereich hat die Funktion f(x) = a^x? Prüfe auch mit dem Taschenrechner nach!

D = IR\{1} D = IR⁺ D = IR\{0} D = IR

Wertemenge der Funktion f(x) = a^x

Welche Wertemenge hat die Funktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math]?

W = IR⁻, d.h. die Funktionswerte von f sind stets negativ. W = IR W = IR⁺, d.h. die Funktionswerte von f sind stets positiv. Die Wertemenge hängt vom Parameter a ab.

Monotonieverhalten

Wie ändert sich das Monotonieverhalten von [math]f\left(x\right)=a^x[/math] in Abhängigkeit vom Wachstumsfaktor a?

Für a > 1 ist [math]G_f[/math] monoton fallend, wenn x größer wird. Für a > 1 ist [math]G_f[/math] monoton steigend, wenn x größer wird. Für 0 < a < 1 ist [math]G_f[/math] monoton steigend, wenn x größer wird. Für 0 < a < 1 ist [math]G_f[/math] monoton fallend, wenn x größer wird.

Besondere Punkte

Welche/n besondere/n Punkt/e haben alle Graphen der Exponentialfunktion [math]f:x\mapsto a^x[/math]?

[math]G_f[/math] verläuft für alle a durch den Punkt P(1|0). [math]G_f[/math] verläuft für alle a durch den Punkt P(0|0). [math]G_f[/math] verläuft für alle a durch den Punkt P(-1|0). [math]G_f[/math] verläuft für alle a durch den Punkt P(0|1).

Asymptotisches Verhalten

Welche Asymptote besitzen alle Graphen der Exponentialfunktionen?

Die Achse y = 0, d.h. die x-Achse ist stets waagrechte Asymptote. Die Gerade y = 1 Keine. Der Graph besitzt keine Asymptoten Die Achse x = 0, d.h. die y-Achse ist stets senkrechte Asymptote.

Werte für Wachstumsfaktor a

Das obige Applet lässt für a nur nicht-negative Werte zu. Was sind sinnvolle Werte für den Wachstumsfaktor a? Finde ggf. a-Werte, die zu mathematischen Problemen führen.

a [math]\in IR[/math] a [math]\in[/math][math]IR^+_{_0}[/math] a[math]\in IR_{ }^+\backslash\left\{1\right\}[/math] a[math]\in IR\backslash\left\{0\right\}[/math]

Aufgabe 2. Untersuchung der Exponentialfunktion f(x) = b⋅aˣ

Untersuche den Graphen in Abhängigkeit des Wachstumsfaktor a und des Vorfaktors b.

Einfluss des Vorfaktors b

Welchen Einfluss auf den Graphen hat der Vorfaktor b?[br]Tipp: Stelle einen festen a-Wert ein und variiere nur den b-Wert.

Für -1 < b < 0 wird [math]G_f[/math] in y-Achsenrichtung gestaucht und zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Für 0 < b < 1 wird [math]G_f[/math] in y-Achsenrichtung gestaucht. Für b < -1 wird [math]G_f[/math] in y-Achsenrichtung gestreckt und zusätzliche an der x-Achse gespiegelt. Für b > 1 wird [math]G_f[/math] in y-Achsenrichtung gestreckt.

konkrete Werte für a und b - Teil 1

Setze den Vorfaktor auf den Wert b = 2. Wie muss der Wachstumsfaktor a gesetzt werden, so dass f(2) = 4 ein Funktionswert ist?

a = 0,5 a ≈ 1,4 a = 2 a ≈ 1/1.4

konkrete Werte für a und b - Teil 2

Setze den Wachstumsfaktor auf den Wert a = 1,5. Wie muss der Vorfaktor b gesetzt werden, so dass der Graph von f durch den Punkt P(5|2.5) verläuft?

b = 3 b = 1/2 b = 2 b = 1/3

Aufgabe 3. Vergleich zweier Standard-Exponentialfunktionen

Vergleiche zwei Exponentialfunktionen.

Vergleich des Graphen von Standard-Expontentialfunktionen

Symmetrische Graphen

Vergleiche die Schaubilder. Was stellst du fest:[br] für [math]a_1[/math] = 2 und [math]a_2[/math] = 0,5[br] für [math]a_1[/math]= 4 und [math]a_2[/math]= 0,25[br] für [math]a_1[/math] = 0,2 und [math]a_2[/math] = 5

Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur y-Achse Die Graphen sind punktssymmetrisch zum Ursprung. Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur x-Achse Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten

Aufgabe 4. Checker-Aufgaben

a) Gib einen Funktionsterm an, wenn der Graph von 2ˣ um 4 Einheiten in negative y-Richtung verschoben wird.[br]b) Gib einen Funktionsterm an, wenn der Graph von 2ˣ um 2 Einheiten in positive x-Richtung verschoben wird.