[size=150]Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 11 del libro di Castelnuovo.[br][br]Nella sezione precedente è stato dimostrato che due figure [math]F\equiv\left(A,B,...,a,b,...\right)[/math] e [math]F'\equiv\left(A',B',...,a'b',...\right)[/math] appartenenti ai piani [math]\pi[/math] e [math]\pi'[/math] [u]distinti[/u] sono l'una proiezione dell'altra rispetto ad un centro [math]S[/math], all[/size][size=150]ora:[br][list][*]tutte le [u]rette[/u] [math]AA'[/math], [math]BB'[/math],... che congiungono punti corrispondenti distinti, [u]passano per uno stesso punto[/u] (per osservazione 4);[/*][*]tutti i [u]punti[/u] [math]aa'[/math], [math]bb'[/math],... in cui si segano rette corrispondenti distinte, [u]appartengono alla stessa retta[/u] [math]r=\pi\pi'[/math] (per osservazioni 2 e 4).[/*][/list][/size]

[size=150]Siano ora due figure [math]F\equiv\left(A,B,...,a,b,...\right)[/math], [math]F'\equiv\left(A',B',...,a',b',...\right)[/math] appartenenti ad uno [u]stesso piano[/u] [math]\pi[/math], tale che siano proiezioni da due centri diversi [math]S[/math], [math]S'[/math] di una terza figura [math]F_{0_{ }}\equiv\left(A_0,...,a_0,...\right)[/math] appartenente ad un altro piano [math]\pi_{_{_0}}[/math].[br]Per semplicità considereremo come [math]F[/math] e [math]F'[/math] :[br][list=1][*][size=150]i punti corrispondenti [math]A[/math] ed [math]A'[/math], proiezioni del punto [math]A_{0_{ }}[/math] di [math]F_{0_{ }}[/math];[/size][/*][*][size=150]le rette corrispondenti [math]a[/math] ed [math]a'[/math], proiezioni della retta [math]a_{0_{ }}[/math] di [math]F_{0_{ }}[/math].[/size][/*][/list][/size][size=150][br]È possibile fare le seguenti osservazioni.[br][br][b]OSSERVAZIONE 6-a:[/b] Siano i piani [math]\pi[/math] e [math]\pi_{0_{ }}[/math], i punti [math]A[/math], [math]A'[/math], [math]A_{0_{ }}[/math] ed i centri di proiezione [math]S[/math] e [math]S'[/math] che soddisfano quanto detto sopra. Allora [color=#0000ff]una retta congiungente punti corrispondenti distinti [/color][math]A[/math][color=#0000ff], [/color][math]A'[/math][color=#0000ff] di [/color][math]F[/math][color=#0000ff], [/color][math]F'[/math][color=#0000ff] appartiene al piano [/color][math]\pi[/math][color=#0000ff] ed inoltre al piano [/color][math]SS'A_{0_{ }}[/math][color=#0000ff], quindi [i]passa per il punto fisso[/i] [/color][math]O[/math][color=#0000ff] traccia di [/color][math]SS'[/math][color=#0000ff] su [/color][math]\pi[/math][color=#0000ff].[/color][/size]

[size=150][b]OSSERVAZIONE 6-b:[/b] Siano i piani [math]\pi[/math] e [math]\pi_{0_{ }}[/math], le rette [math]a[/math], [math]a'[/math], [math]a_{0_{ }}[/math] ed i centri di proiezione [math]S[/math] e [math]S'[/math] che soddisfano quanto detto sopra. Allora [color=#0000ff]due rette corrispondenti [/color][math]a[/math][color=#0000ff], [/color][math]a'[/math][color=#0000ff] di [/color][math]F[/math][color=#0000ff], [/color][math]F'[/math][color=#0000ff] devono passare per la traccia[br]della retta [/color][math]a_{0_{ }}[/math][color=#0000ff] sul piano [/color][math]\pi_{0_{ }}[/math][color=#0000ff], traccia la quale appartiene alla retta [/color][math]r=\pi\pi'[/math][color=#0000ff]; dunque rette corrispondenti distinte di [/color][math]F[/math][color=#0000ff] ed [/color][math]F'[/math][color=#0000ff] [i]si segano in un punto[/i] della retta fissa [/color][math]r[/math][color=#0000ff].[/color][/size]

[size=150]Dalle due precedenti si ricava un'unica osservazione riassuntiva.[br][br][b]OSSERVAZIONE 6:[/b] Due figure [math]F=\left(A,B,...,a,b,...\right)[/math] e ,[math]F'=\left(A',B',...,a',b',...\right)[/math] appartenenti allo [u]stesso[/u] piano [math]\pi[/math], tale che siano proiezioni da due centri diversi [math]S[/math], [math]S'[/math] di una terza figura [math]F_{0_{ }}\equiv\left(A_0,B_0,...,a_0,b_0,...\right)[/math] appartenente ad un altro piano [math]\pi_{0_{ }}[/math]. Allora:[br][list][*]tutte le [u]rette[/u] [math]AA'[/math], [math]BB'[/math],... che congiungono punti corrispondenti distinti, [u]passano per uno stesso punto[/u];[/*][*]tutti i [u]punti[/u] [math]aa'[/math], [math]bb'[/math],... in cui si segano rette corrispondenti distinte, [u]appartengono alla stessa retta[/u] [math]r=\pi\pi'[/math].[/*][/list][/size][br][size=150]Che, per altro, conferma la validità di quanto enunciato sopra sia per figure su piani diversi, che per figure sullo stesso piano.[/size]

[size=150]Considerando due figure piane [math]F\equiv\left(A,B,...,a,b,...\right)[/math] e [math]F'\equiv\left(A',B',...,a',b',...\right)[/math] corrispondenti come in uno dei due casi osservati nel paragrafo precedente, in cui le rette congiungenti punti corrispondenti passano tutte per uno stesso punto [math]O[/math] ed i punti di incontro di rette corrispondenti stanno tutti sopra una stessa retta [math]r[/math]:[br][list][*][size=150]Le figure [math]F[/math] e [math]F'[/math] si dicono [b][i]omologiche[/i][/b] (o [b][i]prospettive[/i][/b]).[br][/size][/*][*][size=150]Il punto [math]O[/math] per cui passano tutte le congiungenti è il [b][i]centro di omologia[/i][/b]. [br]La retta [/size][/*][*][size=150]La retta [math]r[/math] sopra cui si trovano tutte le intersezioni è l'[i][b]asse di omologia[/b][/i].[/size][/*][/list][br]Da questo momento sarà di interesse studiare il caso particolare in cui le due figure sono triangoli. È possibile riassumere quanto detto nel capitolo nel lemma che segue.[/size]

[size=150][b]LEMMA:[/b] [color=#0000ff]Due triangoli sono [i]omologici[/i], sia quando, giacendo in [u]piani diversi[/u], sono l'[u]uno proiezione dell'altro[/u], sia quando, giacendo in uno [u]stesso piano[/u], sono entrambi [u]proiezioni[/u] (da centri diversi) [u]di uno stesso triangolo[/u] situato in un altro piano[/color].[/size]