[size=200][b]III. Ermitteln der Funktion (Teil 1)[/b][br][math]\quad\quad[/math] … aus Durchhang und Pfeilerabstand[/size]

Die Aufhängepunkte der Kette seien [math]A=\left(-c \,\vert\, h\right)[/math] und [math]B=\left(c \,\vert\, h\right)[/math], im Beispiel mit den Werten [math]c=0.7[/math] und [math]h=0.53[/math].[br]Der tiefste Punkt der Kette möge um [math]d[/math] tiefer liegen als die Aufhängepunkte („Durchhang“).[br]Im Bild befindet sich der Tiefpunkt auf der y-Achse ungefähr bei 0.16.[br]Er liegt damit um [math]d=h-0.16=0.53-0.6=0.37[/math] tiefer als die Aufhängepunkte.[br][math]T=\left(0 \,\vert\, h-d \right)=\left(0 \,\vert\, 0.16\right)[/math].

Die Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h[/math] soll an der Stelle x=0 den Wert h-d haben:[br][math]f\left(0\right)=a\cdot\cosh\left(\frac{0}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h=h-d[/math][br]Wegen [math]\cosh\left(0\right)=1[/math] folgt[br][math]a\cdot 1-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h = h-d \quad \Leftrightarrow[/math][br][math]a-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+d = 0 [/math] oder [br][math][br]a \cdot \left(-1+\cosh\left(\frac{c}{a}\right)\right) = d[br][/math].[br]Mit der Gleichung (VI) aus Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/vafx7nha]II. Mathematischen Grundlagen[/url] wird die Formel zu [br][math][br]\boxed{[br]2 a \cdot \sinh^2\left(\frac{c}{2a}\right) = d[br]}[br][/math].[br][br]Der Parameter a für die Form der Kettenlinie ist also nur durch den Wert von c (halber Abstand der Pfeiler) und den Wert d (Durchhang der Kette) festgelegt.[br][br]Mit den Werten von oben, nämlich c=0.7 und d=0.37, gilt:[br][math][br]2 a \cdot \sinh^2\left(\frac{0.7}{2 a}\right)=0.37[br][/math].[br][br]Diese Gleichung lässt sich nicht nach a auflösen.[br]Aber mit einem geeigneten Taschenrechner oder mit GeoGebra lässt sich eine Lösung für diese Gleichung finden.[br][br]

Hier sind nur zwei Zeilen zu schreiben:

In der zweiten Zeile wird die Anweisung NLösungen für numerisches Lösen verwendet.[br]Dabei wird $1 als Platzhalter für die zu lösenden Gleichung angeben.[br]Der passende Wert für a ergibt sich dann mit [math]a \approx 0.717[/math].[br]Machen wir uns nichts vor: solange der Abstand 2c[math]\approx[/math]1,4m und der Durchhang d[math]\approx[/math]0,37m nicht genauer gemessen werden, ergibt es keinen Sinn, den Parameter a auf eine Genauigkeit von 5 Stellen zu bestimmen.[br][br]Der Wert stimmt mit dem aus der Schieberegler-Methode von der vorigen Seite gut überein.[br]Dort sehe ich die beste Übereinstimmung von Kurve und Kette bei a=0,715 oder a=0,72.[br][br]Der Operator NLösungen ist hier besser als NLöse geeignet, weil dass das Ergebnis dann eine einfache Menge ist.[br]Für das Zeichnen der Funktion [br][math]f(x)=a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) - a \cosh\left(\frac{c}{a}\right) + h[/math][br]kann im Algebrafenster auf den berechneten Wert zugegriffen werden, indem mit [br][code]a = Element(L,1)[/code][br]das erste (und in diesem Fall: einzige) Element aus der Lösungsmenge herausgeholt wird.[br]