Hemos definido el producto escalar entre [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] como [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)[/math][br][br][justify]Si de la expresión del producto escarlar despejamos [math]cos\left(\alpha\right)[/math] tendremos lo siguiente:[br][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel}[/math][br][br]Si consideramos [math]\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)[/math] y [math]\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)[/math] entonces la expresión anterior queda de la siguiente forma:[br][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}[/math][br][br]Despejando el ángulo se tiene que:[br][br][math]\alpha=arccos\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}[/math][br][br][br][/justify]
Para cada número real [math]0\le\lambda\le1[/math] exiten dos ángulos cuyo coseno vale [math]\lambda[/math]. Tomaremos el menor de esos ángulos.[br][br]Por ejemplo: [math]cos\left(45^\circ\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] y [math]cos\left(315^\circ\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]. En este caso cogeríamos [math]\alpha=45^\circ[/math]
Si el producto escalar es [b]positivo[/b], el ángulo entre [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] es:
Si el producto escalar es [b]cero[/b], el ángulo entre [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] es:
Si el producto escalar es [b]negativo[/b], el ángulo entre [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] es:
Dados los vectores [math]\vec{u}=\left(2,k\right)[/math] y [math]\vec{v}=\left(3,-2\right)[/math], calcula [math]k[/math] para que los vectores sean:[br][br]Ortogonales
Paralelos[br][br](Usar dos cifras decimales y el punto como separador decimal)
Formen un ángulo de [math]60^\circ[/math]
Hallar [math]\lambda[/math] si el ángulo que forma [math]\vec{u}\left(3,\lambda\right)[/math] con [math]\vec{v}=\left(3,-2\right)[/math] vale:[br][br][math]90^\circ[/math][br][br](Usar el punto como separador decimal)