Sistemas de Ecuaciones Lineales (TEMBI)
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Table of Contents
- Introducción
- Introducción
- Introducción a Sistemas de Ecuaciones Lineales *
- Sistema de Ecuaciones Lineales en ℝ²
- Tipos de Sistemas de Ecuaciones R² (Cuadrados)
- Sistemas de Ecuaciones Lineales (m≠n)
- Uso del CAS para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales *
- Problema 1
- Flujo en una rotonda
- Modelación del problema de la rotonda
- Caso I
- Caso II
- Caso III
- Sistemas de Ecuaciones Lineales en ℝ³
- Sistema de Ecuaciones Lineales (3x3)- Caso 1
- Sistemas de Ecuaciones Lineales (3x3) - Caso 2
- Sistemas de Ecuaciones Lineales (3x3) - Caso 3
- Problema 2
- Flujo vehicular
- Propuesta Didáctica
- Propuesta Didáctica
Introducción
Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen un tema de estudio en diferentes niveles escolares, generalmente a partir del nivel secundario en muchos países del mundo. Aunque la profundidad y los métodos de estudio de este tema varían, se considera importante principalmente por dos razones: 1) la comprensión de los sistemas de ecuaciones lineales constituye un paso importante para estudios posteriores en matemáticas en general y en álgebra lineal en particular; 2) muchas aplicaciones en los campos de la ingeniería y las ciencias sociales involucran modelos que hacen uso de este tema (Oktaç, 2018).[br][br]En México por ejemplo, la Dirección General del Bachillerato establece en el programa de estudio de la Materia Matemáticas I, en los Bloques VI, VII y VII a los Sistemas de Ecuaciones Lineales, resaltando sistemas de ecuaciones lineales 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.[br][br]Algunos de los Desempeños esperados al concluir los bloques antes mencionados son:[br][list][*]Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos y tres incógnitas.[/*][*]Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos y tres incógnitas mediante métodos:[/*][*] Numéricos: Determinantes[/*][*] Algebraicos: Eliminación, igualación, reducción y sustitución [/*][*] Gráficos[/*][*]Identifica gráficamente sí un sistema de ecuaciones tiene una, ninguna o infinitas soluciones.[/*][/list][br][br]Oktaç, A. (2018). Conceptions About System of Equations and Solution. en S. Stewart, C. Andrews-Larson, A. Berman, & Zandieh (Eds.), Challenges and Strategies in Teaching Linear Algebra (pp. 71-101). https://doi.org/10.1007/978-3-319-66811-6_4[br][br]
Tipos de Sistemas de Ecuaciones R² (Cuadrados)
Cuando un Sistema de Ecuaciones Lineales de [math]m[/math] ecuaciones y [math]n[/math] incógnitas tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas [math]\left(m=n\right)[/math], se dice que es un sistema cuadrado.[br][br]En la siguiente applet se presentan tres tipos de sistemas de ecuaciones cuadrados 2x2, es decir dos ecuaciones con dos incógnitas.
Número de Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
Para un sistema de ecuaciones lineales, una de las afirmaciones es verdadera:[br][list=1][*]El sistema tiene exactamente una solución (sistema consistente)[/*][*]El sistema tiene un número infinito de soluciones (sistema consistente)[/*][*]El sistema no tiene solución (sistema incosistente)[/*][/list]
Con base en lo anterior, el sistema de ecuaciones I que se presenta en el applet es:
El Sistema de Ecuaciones II es:
El Sistema de Ecuaciones III es:
Flujo en una rotonda
El siguiente esquema representa una rotonda con problemas de congestionamiento, a partir de mediciones se determinó que la mayor cantidad de flujo vehicular correspondía al ingreso a la rotonda por el norte, con un aforo de 75 vehículos por minuto, también se determinó que el flujo de salida por el este, correspondía a 92 vehículos por minuto.
Para resolver el problema se decidió invertir el sentido del arco Noreste de la rotonda e incluir un nuevo segmento que une la entrada por el oeste con la salida por el este, además se realizaron nuevas mediciones y se determinó el flujo de vehículos por minuto de otros segmento quedando como sigue:
Ahora es necesario determinar los aforos posibles de los otros segmentos de la rotonda y el ingreso por el oeste y salidas por el sur.[br][br]Supuestos: los vehículos no pueden circular en sentido contrario ni se pueden estacionar.
Proponga un modelo para determinar los aforos faltantes:
Sistema de Ecuaciones Lineales (3x3)- Caso 1
Resuelve a lápiz y papel el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el métodos de Gauss - Jordan [br][math]2x_1+x_2-x_3=-1[/math][br][math]x_1-2x_2+x_3=5[/math][br][math]3x_1-x_2-2x_3=0[/math][br][br]La siguiente construcción muestra las representaciones algebraica, matricial y gráfica del sistema de ecuaciones lineales del punto anterior, captura los coeficientes numéricos de cada uno de los sistemas equivalentes obtenidos al resolver el sistema por Gauss - Jordan en la representación matricial y observa las transformaciones al sistema.[br]
¿Cuál es la solución del sistema?
Flujo vehicular
El siguiente diagrama representa un plano de calles en las primeras dos cuadras más concurridas del distrito financiero de una ciudad. El centro de control de tráfico ha instalado sensores electrónicos que cuentan la cantidad de vehículos que pasan por puntos específicos de la ciudad. Las flechas representan la dirección de cada calle y los números la cantidad de vehículos por hora que pasan por ese punto según lo contabilizan los sensores electrónicos. En cada punto de cruce hay rotondas que dirigen el tráfico y permiten un flujo continuo de tráfico a través de todo el sistema. Los autos no pueden estacionarse en las calles.[br][br]Se debe permitir que el flujo de tráfico siga su curso habitual en los puntos del sensor. Sin embargo, el Centro de Control de Tráfico está interesado en el análisis de posibles políticas de desvío de tráfico.[br][br]Estas políticas son necesarias cuando se realizan obras en la carretera o se producen otros eventos especiales de interrupción del tráfico.[br]
Considerando los aforos de entrada y salida, responda a las siguientes preguntas:[br][br]¿Es posible cerrar alguna calle sin causar un embotellamiento?[br]¿Cuál es el aforo mínimo que se puede permitir en una calle sin provocar un embotellamiento?[br][br]Envíe en el siguiente formulario todas las evidencias que respalden sus respuestas.
Propuesta Didáctica
Ahora es su turno de proponer una situación de aprendizaje que permita a los estudiantes resolver un problema utilizando sistemas de ecuaciones.[br][br]Puede utilizar todos los recursos que considere necesarios, utilizando al menos una de las herramientas de GeoGebra.[br][br]Envíe su propuesta en el siguiente formulario.[br]