Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'

Lernvoraussetzungen

[list][*]Grundvorstellung zu Funktionen[/*][*]anschauliche Vorstellung von Hoch- und Tiefpunkten[/*][/list]

Das obere Graphikfenster zeigt den Graphen einer Funktion f und einen Punkt (x|f(x)) auf dem Graphen. Mit dem Schieberegler kannst du diesen Punkt im Intervall [-3; 4] bewegen. Im unteren Graphikfenster werden die jeweiligen Punkte (x|f‘(x)) gezeichnet.[br][br][br][br]

Aufgabe 1:

Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f‘ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte.[br][br]Stelle in einer Tabelle gegenüber:[br][br][table][tr][td][b]Eigenschaft von f [/b][/td][td][b]Eigenschaft von f'[/b] [/td][/tr][tr][td]Der Graph von f steigt streng monoton im [br]Intervall I[/td][td]Der Graph von f' ...[br][br][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][/table]

Aufgabe 2:

Erkläre, welche Besonderheit für die Punkte (-2|f(-2)), (1|f(1)) und (3|f(3)) gilt, und gib die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Ableitungsfunktion f‘ an. Ordne begründet die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt[br]und Sattelpunkt zu.[br][br]Tipp: Wenn dir die Begriffe unklar sind, kann das Kontrollfeld „Extrempunkte zeichnen“ dir helfen.[br][br][br]

Aufgabe 3:

Beurteile die beiden Aussagen 1 und 2:[br][br]Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat, dann hat f‘ an der Stelle x eine Nullstelle.[br][br]Aussage 2: Wenn f‘ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Hoch- oder einen Tiefpunkt.[br][br][br]

Aufgabe 4:

In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Hoch- oder Tiefpunkts immer gelten muss: f‘(x) = 0. Man spricht von der [b]notwendigen[/b] Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Extremwerte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt.[br][br]Untersuche mit Hilfe des Geogebra-Applets [u]die Ableitungsfunktion f‘[/u] in der Umgebung der besonderen Punkte. Halte deine Beobachtungen in der Tabelle fest. [br][br][table][tr][td]Wenn... [/td][td]Dann..... [/td][/tr][tr][td]... an der Stelle x ein Hochpunkt vorliegt, [/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][/table]

Aufgabe 5:

Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen: [br] [br][table][tr][td]Eigenschaft der Ableitungsfunktion f' [/td][td]Eigenschaft von f [/td][/tr][tr][td][/td][td]dann ist f im Intervall I streng monoton steigend. [/td][/tr][tr][td][/td][td]dann ist f im Intervall I streng monoton steigend.[/td][/tr][tr][td][/td][td]dann hat f an der Stelle x einen Hochpunkt.[/td][/tr][tr][td][/td][td]dann hat f an der Stelle x einen Tiefpunkt.[/td][/tr][tr][td][/td][td]dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt.[/td][/tr][/table]