Tangrams

Christian Mercat, Nov 10, 2014

Un livre de tangrams utilisables en mathématiques, d'une petite étude historique conduisant à la quarrabilité de tout polygone, des [url="https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_carr%C3%A9_manquant"]tangrams faux[/url] poussant à se méfier de ce qu'on voit, les tangrams de Pythagore, des tangrams utiles à calculer des aires et des tangrams récréatifs.

Table of Contents

  1. Toute surface polygonale est quarrable
    1. Tangram d'Abul Wafa
    2. Carrer un rectangle: tangram de Montucla
    3. Triplement du carré
    4. Construction de la moyenne géométrique
    5. Théorème de Pythagore par homothétie
  2. Tangrams faux
    1. 64=65
    2. Azulejos 42=43=44=45
    3. 6x13=7x11
    4. 8x17=9x15
    5. 9x19=10x17
    6. 11x12=7x19
    7. Générateur de tangrams faux
  3. Tangrams de Pythagore
    1. Pythagore à quatre pièces
    2. Tangram de Pythagore
    3. Tangram de Pythagore
    4. Tangram de Pythagore à 5 pièces
    5. Tangram de Liu Hui
    6. Tangram de Pythagore à 8 pièces
    7. Tangram de Pythagore à 7 pièces
    8. Tangram de Pythagore de côté (a+b)
    9. Tangram de Pythagore par b²=(c-a)(c-b)
    10. Rayon de la terre estimé grace au phare d'Alexandrie
    11. Duplication du carré
    12. Identité remarquable et Pythagore
    13. Théorème de Pythagore: La preuve d'Einstein
    14. Découpage d'Airy
    15. Dissection qui tourne
    16. Tangram de Liu Hui bis
    17. Tangram carré+carré
    18. Tiling by two squares
    19. Pythou par Arnaud Durand
    20. Pythagore Olivier Longuet
  4. Calculs d'aires
    1. Calculer avec des droites
    2. Archimède: aire du disque
    3. Tangram sur l'aire du parallélogramme
    4. Tangram aire parallélogramme
    5. Carrés dans carrés
    6. Suite vers la moyenne géométrique
    7. Vingt-quatre tétraèdres (différents) pour un cube
    8. Tangrams de Shaula
    9. Dodécagone
  5. Partage de gateau
    1. Partage de gateau
    2. Rapport d'aires fixé
    3. Partage de gateau carré
  6. Sam Loyd
    1. La niche de Loyd
    2. M carré de Loyd
  7. Divers
    1. Something nerdy
    2. Rep-Tile: Le Sphinx
    3. Rep-Tile demi-hexagone
    4. Rep-Tile à trois triangles
    5. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
    6. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
    7. Rep-Tile en L à 4 pièces
    8. Rep-Tile A0>A1>A2>A3>A4
    9. Rep-Tile L à 4 pièces
    10. Rep-Tile: Pavage par substitution d'un quadrilatère
    11. Pavages de rapport une racine carrée
    12. Rep-tuile du triangle d'or

1.

Toute surface polygonale est quarrable

Cette démonstration requiert trois étapes: [list=1] [*]Trianguler la surface polygonale [*]Transformer un triangle donné en un rectangle (Abul Wafa) [*]Carrer un rectangle (Montucla) [*]Réunir deux carrés en un seul (Pythagore) [/list] La démonstration a été finalisée par Janos Bolyai au XIXème siècle.

  • 1. Tangram d'Abul Wafa
  • 2. Carrer un rectangle: tangram de Montucla
  • 3. Triplement du carré
  • 4. Construction de la moyenne géométrique
  • 5. Théorème de Pythagore par homothétie

1.1.

Tangram d'Abul Wafa

Carrer une surface passe par transformer un triangle en un rectangle.[br]Le théorème des milieux permet de décomposer le petit triangle homothétique de facteur deux en deux pièces qui complètent le trapèze.
Vous pouvez modifier la forme du triangle dans une certaine mesure et faire varier l'angle de l'animation.[br][br]Quelle est l'aire des petits triangles par rapport au trapèze bleu?[br][br]En quoi ce tangram donne-t-il sens à la fameuse formule [math]\mathcal{A}=\frac{b\times h}2[/math]?
– Christian Mercat

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

Tangrams faux

Les tangrams procurent des "preuves" sans mots... Mais il faut parfois se méfier! Voici des exemples pour bien convaincre qu'il est parfois nécessaire de passer par le calcul pour vérifier ce que les yeux voient.

  • 1. 64=65
  • 2. Azulejos 42=43=44=45
  • 3. 6x13=7x11
  • 4. 8x17=9x15
  • 5. 9x19=10x17
  • 6. 11x12=7x19
  • 7. Générateur de tangrams faux

2.1.

64=65

Déplacez les pièces du tangram de manière à recomposer soit le carré, soit le rectangle.
Quel est la mesure du côté du carré? Et celles des côtés du rectangle? Qu'en déduit-on pour leur aire? Que se passe-t-il?
– Christian Mercat

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

Tangrams de Pythagore

Il en existe de nombreuses formes. Vous pouvez jouer avec, imprimer le votre pour faire jouer vos amis (c'est plus difficile avec des pièces qu'on peut tourner, ici les mouvements sont en général des translations). Le livre "la secte des nombres" de la collection "le monde est mathématique" contient une grande collection de tels tangrams. Vous en trouverez [url=http://images.math.cnrs.fr/La-secte-des-nombres.html]ici[/url].

  • 1. Pythagore à quatre pièces
  • 2. Tangram de Pythagore
  • 3. Tangram de Pythagore
  • 4. Tangram de Pythagore à 5 pièces
  • 5. Tangram de Liu Hui
  • 6. Tangram de Pythagore à 8 pièces
  • 7. Tangram de Pythagore à 7 pièces
  • 8. Tangram de Pythagore de côté (a+b)
  • 9. Tangram de Pythagore par b²=(c-a)(c-b)
  • 10. Rayon de la terre estimé grace au phare d'Alexandrie
  • 11. Duplication du carré
  • 12. Identité remarquable et Pythagore
  • 13. Théorème de Pythagore: La preuve d'Einstein
  • 14. Découpage d'Airy
  • 15. Dissection qui tourne
  • 16. Tangram de Liu Hui bis
  • 17. Tangram carré+carré
  • 18. Tiling by two squares
  • 19. Pythou par Arnaud Durand
  • 20. Pythagore Olivier Longuet

3.1.

Pythagore à quatre pièces

Issu de l'exposition "Pourquoi les mathématiques", un tangram de Pythagore assez basique.
Assemblez les 4 pièces en un grand carré, ou bien les trois pièces hormis la bleue en un plus petit carré.
– Christian Mercat

3.2.

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3.3.

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3.5.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

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3.16.

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3.17.

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3.18.

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3.19.

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3.20.

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4.

Calculs d'aires

Aire du parallélogramme, aire du disque, calcul avec des droites (somme et produit, donc calcul d'aires et calcul de moyenne géométrique).

  • 1. Calculer avec des droites
  • 2. Archimède: aire du disque
  • 3. Tangram sur l'aire du parallélogramme
  • 4. Tangram aire parallélogramme
  • 5. Carrés dans carrés
  • 6. Suite vers la moyenne géométrique
  • 7. Vingt-quatre tétraèdres (différents) pour un cube
  • 8. Tangrams de Shaula
  • 9. Dodécagone

4.1.

Calculer avec des droites

On peut bien sûr ajouter des longueurs. En ajoutant la même longueur, on obtient l'addition itérée, c'est-à-dire la multiplication par un nombre entier. En coupant une longueur en parties égales, on obtient également la division par des nombres entiers, ce qui est possible en comparant le segment avec un segment construit comme autant de parties égales. En composant ces deux multiplications, on obtient la multiplication par des rationnels. Mais peut-on mutliplier des longueurs entre elles? Pour un Grec, la multiplication est... multiple. Il y a d'abord la multiplication homogène, comme addition itérée d'une longueur, comme fraction d'une longueur (division par un entier), et comme produit par un rationnel, donnant une longueur. Mais il y a également le produit hétérogène, qui a deux longueurs associe une grandeur différentes, une aire, comme surface délimitée par un rectangle de côtés donnés. On peut se ramener à une opération homogène, à une longueur, en comparant ce rectangle à un carré de même aire. Ce qu'on comprend comme la moyenne géométrique des deux longueurs, ce n'est pas leur produit. Ces deux types de multiplications, tout à fait différentes, ne sont pas homogènes, soit c'est un scalaire rationnel produit par une longueur qui donne une longueur, soit c'est un produit de deux longueurs qui donne une aire. Pour avoir un produit homogène, il faut une unité. Cette unité 1 étant donnée, on peut alors, en utilisant judicieusement le théorème de Thalès, construire, à l'aide d'un point 1' extérieur auxiliaire, on peut alors construire géométriquement le carré d'une longueur, son inverse, le produit de deux longueurs.

Vous pouvez bouger les points pilotant a, b et 1' le point auxiliaire. Remarquez que pour des nombres entiers ou des fractions de l'unité, on retrouve l'addition itérée et la fraction. Remarquez que cette construction donne un sens géométrique tout à fait clair aux produits de grandeurs algébriques, a et b peuvent être négatives (faites les passer de l'autre côté de l'origine par rapport à 1). On retrouve ainsi les règles de signes et on donne un sens géométriques à des constructions telles que <math>-2,3\times -0,6=+1,38</math>. Retenons que la multiplication, par delà l'addtion itérée, est associée à un agrandissement ou une réduction.
– Christian Mercat

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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5.

Partage de gateau

Couper un gateau peut-être difficile si on tient à faire des parts égales et si le gateau a une forme particulière...

  • 1. Partage de gateau
  • 2. Rapport d'aires fixé
  • 3. Partage de gateau carré

5.1.

Partage de gateau

On veut partager un gateau traingulaire en n parts égales à l'aide de n-1 coups de couteau passant tous par un point M du bord. Comment construire géométriquement les points définissant les coupes?

Vous pouvez modifier le nombre de parts n et la position du point M.
– Christian Mercat

5.2.

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5.3.

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6.

Sam Loyd

Un article dans [url=""]Images des mathématiques[/url] traite des [url="http://www.mathpuzzle.com/loyd"]puzzles de Loyd[/url]. En voici quelques-uns.

  • 1. La niche de Loyd
  • 2. M carré de Loyd

6.1.

La niche de Loyd

D'après [url=http://images.math.cnrs.fr/]Image des Mathématiques[/url].[br]Sam Loyd propose de nombreux problèmes de découpages, de la forme suivante : étant données deux figures géométriques, il s’agit de découper la première figure en un nombre fini de pièces et de réassembler ces pièces afin d’obtenir la seconde figure. Par exemple, le puzzle du jeune charpentier demande de découper une planche carrée de manière à construire une façade pour une niche.
Déplacez les points définissant les triangles pour passer d'un carré à la "niche".
– Christian Mercat

6.2.

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7.

Divers

  • 1. Something nerdy
  • 2. Rep-Tile: Le Sphinx
  • 3. Rep-Tile demi-hexagone
  • 4. Rep-Tile à trois triangles
  • 5. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
  • 6. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
  • 7. Rep-Tile en L à 4 pièces
  • 8. Rep-Tile A0>A1>A2>A3>A4
  • 9. Rep-Tile L à 4 pièces
  • 10. Rep-Tile: Pavage par substitution d'un quadrilatère
  • 11. Pavages de rapport une racine carrée
  • 12. Rep-tuile du triangle d'or

7.1.

Something nerdy

Je l'ai appris de [url=https://www.tiktok.com/@ayliean/video/7149255716333767941]Ayliean[/url], une tik-tokeuse écossaise très sympa.
Vous pouvez laisser jouer l'entier ou bien le faire à la main et apprécier ce qui se passe. Vous l'avez? Dessinez le à la main, c'est plus rigolo! Vous verrez que ce qui se passe avec les quatre pièces non similaires à la grande est un peu complexe en fait...
– Christian Mercat

7.2.

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7.3.

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7.4.

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7.5.

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7.6.

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7.7.

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7.8.

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7.9.

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7.10.

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7.11.

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7.12.

–

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