Como calcular distâncias no espaço( Rˆ3)
Table of Contents
- Área e Volume no Espaço
- 1.1 Volume e Área no espaço
- Distância entre dois pontos
- 2.1 Pontos no Espaço
- Distância entre ponto à reta
- 3.1 Como calcular a distância no espaço
- 3.3 Como calcular a distância no plano
- Exercício: distância entre duas retas no plano
- Distância entre reta à reta
- 4.1 Como Calcular a distância no Plano Cartesiano
- 4.2 Como Calcular a distância no espaço
- Distância entre planos
- Pequena revisão de planos
- 5.1 Distância entre ponto e plano
- 5.2 Como calcular distância entre dois planos ou um plano e uma reta
1.1 Volume e Área no espaço
Introdução
Essa seção é voltada para dar destaque a alguns recursos importantes que serão usados no resto desse book para dedução de fórmulas e resolução de exercícios. O intuito é dar a base para o que será apresentado posteriormente.[br]O que entrará em destaque serão somente duas coisas: Área de um paralelogramo(formado por 2 vetores) e o Volume de um paralelepípedo(formado por 3 vetores)
Área de um paralelogramo
É importante lembrar que sempre que nos referimos à área que é formada por dois vetores(não coincidentes), estamos falando da área de um [b]Paralelogramo[/b] que esses dois vetores são capazes de formar.
[b]IMPORTANTE: Não [/b]confundir a o paralelogramo com o triângulo formado pelos dois vetores. [b]Esse é um erro muito comum[/b]. Se o que você deseja a área desse triângulo basta achar a Área do paralelogramo e dividir isso por dois.[br]Abaixo, um exemplo para [b]ilustrar esse [color=#ff0000]erro[/color]. [/b]
Agora , como calcular a área desse paralelogramo? [br]Essa área tem mesma valor que o [b]módulo do produto vetorial [/b]entre esses dois vetores.[br][b]Ou seja,[/b] [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Area%3D%20%5Cleft%20%7C%5Cvec%7Bu%7DX%5Cvec%7Bv%7D%20%5Cright%20%7C[/img] .[br]Lembrando que o produto vetorial [b]resulta em um vetor[/b], e que para calculá-lo basta resolver a matriz: [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20i%20%26%20j%20%26%20k%5C%5C%20x_%7B1%7D%20%26y_%7B1%7D%20%26z_%7B1%7D%20%5C%5C%20x_%7B2%7D%20%26%20y_%7B2%7D%20%26z_%7B2%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D[/img] . Sendo [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D%3D%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D%3D%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29[/img] .
Volume de um paralelepípedo
Três vetores(não coplanares) no espaço podem formar um paralelepípedo. Para ficar mais fácil a visualização gráfica, observe o exemplo abaixo:
E o cálculo desse volume é igual ao módulo produto misto. [b]Lembrando que o produto misto dá um número[/b](diferentemente do produto vetorial que resulta um vetor).[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Produtomisto%3D%20%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvec%7Bu%7D%2C%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bw%7D%20%5Cright%20%5Crangle[/img][br][br][br]ou[br][br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Produtomisto%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_%7B1%7D%20%26y_%7B1%7D%20%26z_%7B1%7D%20%5C%5C%20x_%7B2%7D%20%26y_%7B2%7D%20%26z_%7B2%7D%20%5C%5C%20x_%7B3%7D%20%26y_%7B3%7D%20%26z_%7B3%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D[/img] . Sendo [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D%3D%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29[/img] , [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D%3D%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bw%7D%3D%28x_%7B3%7D%2Cy_%7B3%7D%2Cz_%7B3%7D%29[/img] .[br][br][br]
[b]Observação:[/b] Tanto na área quanto no volume, o que nos interessa é o módulo deles(porque não tem como um volume ou área serem negativos.(É análogo a uma pessoa medir -1,75metros, isso é impossível, pois altura é sempre positiva, assim como a área e o volume)
2.1 Pontos no Espaço
Introdução
O objetivo dessa apresentação é saber como calcular a distância entre dois pontos. Um exercicío bem simples, porém, interessante porque é possível trabalhar alguns fundamentos de vetores.
Problema
É proposto o seguinte exercício: [br]Dados os pontos A=(1,1,1) e o ponto B=(5,3,4), calcular a distância entre A e B.[br][br][br]Como proceder? Primeiro é bom visualizar o exercício para entender melhor sobre ele.
Agora, qual o melhor jeito de resolver esse exercício? A maneira mais lógica de se pensar é que por se tratarem de pontos no espaço, posso pensar que é possível imaginar um vetor "u" que começa de A e vai até B. Mas o que esse vetor tem de mais? O módulo desse vetor, ou seja, o tamanho dele é a distância existente entre os pontos A e B.
Assim é só usar a formula para calculo de módulo no vetor u . [br]Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D%3D%20%284%2C2%2C3%29[/img][br]Módulo de vetor: [math]\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math] [br]logo, a distância entre A e B é : [math]\sqrt{4^2+2^2+3^2}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}[/math]
3.1 Como calcular a distância no espaço
Introdução
O objetivo dessa apresentação é descobrir como calcular a distância entre ponto genérico [color=#0000ff][b]A[/b][/color] e uma reta qualquer [b][color=#ff0000]r[/color] [/b], que chamaremos de D([b][color=#0000ff]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b]). É um pouco mais elaborado se comparado à apresentação anterior(distância entre dois pontos), mas se visto devagar e entendendo todos os passos fica fácil. Vale lembrar que quando falamos de distância entre ponto e reta nos referimos à MENOR distancia entre elas.
Teoria
Dada uma reta qualquer e um ponto qualquer, é possível de analisar alguns elementos importantes para a resolução desse tipo de exercício: [b]o ponto [/b][b][color=#0000ff]A[/color] [/b](a distância calculada é em relação à esse ponto); [b]o ponto [color=#6aa84f]P[/color][/b](VOCÊ é quem escolhe esse ponto [b][color=#6aa84f]P[/color][/b], PORÉM ele TEM que pertencer a reta); [b]o vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20P%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7DA%7D%7D[/img] [/b]; [b]o vetor diretor da reta[/b]; e finalmente a [b]distância entre o ponto e a reta[/b](esse elemento eu vou chamar de altura). [br]Para melhor visualização, olhe o esquema abaixo.
No esquema apresentado o [b]vetor azul[/b](vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img]) é o vetor entre o ponto [b][color=#93c47d]P[/color][/b] qualquer da reta e o ponto [b][color=#0000ff]A[/color][/b](o ponto A, é o ponto que desejamos saber a distância) ; o [b]vetor verde[/b] (vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]) é o vetor diretor da reta; e o [b]h[/b] é a altura(é o que queremos descobrir).[br]Vamos agora, analisar só esses três elementos, e ver o que conseguimos observar.
Nota-se que se fizermos um paralelogramo usando os vetores verde e azul, pode ser vantajoso para o calculo da altura. Porque?[br]Porque é possível relacionar a [b]área desse paralelogramo [/b]de duas formas: [br]1- Módulo do produto vetorial entre o vetor [color=#93c47d][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] [/color]e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img].[br]2- Da fórmula da área do paralelogramo aprendida no colégio(comprimento da base x altura)
Obs: Lembrando que o produto vetorial entre u e v dará um VETOR. O módulo desse vetor oriundo do produto vetorial entre os dois, será IGUAL à área do paralelogramo.
Dessa forma:[br]D([b][color=#6aa84f]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b])= Distância do ponto [color=#0000ff][b]A[/b][/color] à reta [b][color=#ff0000]r[/color][/b][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img]=vetor PA[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]=vetor diretor da reta[br]Área do paralelogramo(por meio de produto vetorial): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]||[br]Área do paralelogramo(pela fórmula): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| * h[br]Assim, já que ambas as áreas tratam do mesmo paralelogramo, é possível relacioná-las:[br] ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| = ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| * h[br][b]Finalmente:[/b] h=D([b][color=#6aa84f]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b])= ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| = ||[b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20P%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7DA%7D%7D[/img][/b]X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]||
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////[br][br]Agora, como um complemento, você verá que o calculo da altura não vai depender do ponto [b]P [/b]escolhido(por favor, mexa no controle deslizante k):
Para os diferentes pontos [b][color=#6aa84f]P[/color] [/b]pertencentes a reta, nota-se que a área do paralelogramo continua a mesma (Area=base*h ; a base, que é o vetor diretor da reta é constante, assim como a altura).
4.1 Como Calcular a distância no Plano Cartesiano
Introdução
O objetivo desta seção é ensinar como achar a distância entre duas retas [b]no plano cartesiano[/b]. Para isso é bom relembrar que só existem 3 tipos de [b]posições relativas de duas retas[/b], ou seja, duas retas só podem estar disposta de três maneiras possíveis (e o objetivo é calcular a distância para cada uma delas)(não se assuste, pois você já sabe fazer as três): [br]1ºcaso- retas concorrentes[br]2ºcaso- retas coincidentes[br]3ºcaso- retas paralelas
1º caso: retas concorrentes
Essas retas, são retas que se cruzam e tem vetor diretor diferentes. Como quando nos tratamos de distância nos referimos a menor distância possível, então a distância para esse caso [b]é igual à zero[/b]. Já que elas se tocam não tem como achar uma distância com valor diferente desse (é análogo à alguém perguntar a distância entre você e a camisa que está vestindo).
Note que sempre que as duas retas([b]no mesmo plano!![/b]-seja ele o plano cartesiano ou não) possuírem vetores diretores distintos será o caso de retas concorrentes.
2º caso: retas coincidentes
São duas retas que estão sobrepostas uma na outra, ou seja, basicamente são a mesma reta (tem mesmo vetor diretor e pontos pertencentes iguais). A distância para esse tipo de reta, como já é de se esperar [b]é igual a zero[/b]. Para identificar esse caso [b]não basta[/b] analisar somente o vetor diretor das duas retas, porque vetor diretor igual indica que elas são coincidentes ou paralelas. Então o que fazer?[br]1ºpasso- ver se o vetor diretor é o mesmo[br]2ºpasso- ver se as duas tem algum ponto em comum(se apresentarem um ponto em comum, já é o bastante para dizer que elas são coincidentes)[br][b]ou[br][/b]Simplesmente ver que o coeficiente c da equação cartesiana ax+by+c=0 é igual (já sabendo que tem mesmo vetor diretor)[b][br][/b]
Essa figura é a representação de duas retas sobrepostas
3ºcaso: retas paralelas
São retas que não se cruzam nunca, ou seja, têm [b]mesmo vetor diretor[/b] [b]mas todos os pontos diferentes[/b]. Se as duas retas não se cruzam [b]é o único caso dos três [/b]em que é necessário achar a distância. [br]Qual o procedimento? [br]Considere duas retas, vou chamar uma de [b]f[/b] e a outra de [b]g[/b]. [b]Ache um ponto[/b] que pertence a reta [b]f[/b] e calcule a distância desse ponto à reta [b]g [/b](esse tipo de exercício foi exposto no capítulo anterior). Ou seja, o exercício que era distância entre duas retas, [b]é transformado para distância entre um ponto e uma reta[/b]. Isso é equivalente porque a distância entre as duas retas é sempre constante, não importa qual ponto for analisado.
Pequena revisão de planos
Fórmula Cartesiana de um plano no espaço
Sabe-se que um plano pode ser escrito na forma ax+by+cz+d=0. Sendo o "a", "b", "c" e "d" valores conhecidos(fixos) e "x", "y" e "z" as variáveis. [br][b]Para achar os valores "a", "b", "c" e "d"[/b] é simples, basta saber o [b]vetor normal ao plano[/b]. Sabendo esse vetor normal, eu tenho que:[br]a coordenada "x" dele, é igual ao "a"[br]a coordenada "y" dele, é igual ao "b"[br]a coordenada "z" dele, é igual ao "c" [br]e o d eu descubro sabendo um ponto [b]que pertence ao plano[/b]. [br][b]Para um exemplo dessa pequena revisão clique no link: [/b]https://www.geogebra.org/m/vkzhefcz[b][br][br][br]É importante lembrar que:[/b] sabendo disso tudo podemos ter uma informação muito importante. Ao ter conhecimento da equação do plano, [b]consequentemente sabemos qual é o vetor normal à ele também.[br][/b]Exemplo: [br]Se a eq. cartesiana do plano é 3x-y=0, sabemos que um vetor normal à esse [b]plano[/b] é [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D%3D%283%2C-1%2C0%29[/img].
Observação:
Saiba que além da fórmula cartesiana, existe também a fórmula paramétrica do plano, mas esta não será comentada aqui porque a fórmula cartesiana é suficiente para obter as informações necessárias para o cálculo das distâncias. Isso não quer dizer que na sua avaliação ela será a única forma cobrada.