[b]TEOREMA 1.3.1 Algunos límites básicos.[br][br]1.[/b] [math]\lim_{x\rightarrow c}b=b[/math] [b] 2.[/b] [math]\lim_{x\rightarrow c}x=c[/math] [b]3.[/b] [math]\lim_{x\rightarrow c}x^n=c^n[/math]

[b]TEOREMA 1.3.2 Propiedades de los límites.[br][br][/b]Sean [math]b[/math] y [math]c[/math] números reales, sea [math]n[/math] un número entero positivo, y sean [math]f[/math]y [math]g[/math] funciones con los límites siguientes:[br][br][math]\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L[/math] y [math]\lim_{x\rightarrow c}g(x)=K[/math][br][br]1. Múltiplo escalar: [math]\lim_{x\rightarrow c}[bf(x)]=bL[/math][br][br]2. Suma o diferencia: [math]\lim_{x\rightarrow c}[f(x)\pm g(x)]=L\pm K[/math][br][br]3. Producto: [math]\lim_{x\rightarrow c}[f(x)g(x)]=LK[/math][br][br]4. Cociente: [math]\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{K}[/math], siempre que [math]K\ne0[/math][br][br]5. Potencia: [math]\lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=L^n[/math]

La gráfica de [math]f[/math] y [math]g[/math] están dadas. Utilícelas para evaluar cada límite si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué.

1. [math]\lim_{x\rightarrow2}[3f(x)-5g(x)][/math] 2. [math]\lim_{x\rightarrow2}[-g(x)f(x)][/math] 3. [math]\lim_{x\rightarrow2}\frac{f(x)+3g(x)}{5-g(x)}[/math] 4. [math]\lim_{x\rightarrow1}[f(x)+g(x)][/math]

[b]TEOREMA 1.3.3 Límites de funciones polinomiales y racionales.[br][/b]Sean [math]p(x)[/math] y [math]q(x)[/math] funciones polinomiales y [math]c\in\mathbb{R}[/math]. Entonces:[br][br]1. [math]\lim_{x\rightarrow c}p(x)=p(c)[/math][br][br]2. [math]\lim_{x\rightarrow c}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(c)}{q(c)}[/math], donde [math]q(c)\ne0[/math].[br]

[b]TEOREMA 1.3.4 Límites de funciones radicales.[br][/b]Sea [math]n\in\mathbb{Z}^+[/math]. El límite siguiente es válido para toda [math]c[/math] si [math]n[/math] es impar y es válido para [math]c>0[/math] si [math]n[/math]es par.[br][br][math]\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{c}[/math]

[b]TEOREMA 1.3.5 Límite de una función compuesta.[br][/b]Si [math]f[/math] y[math]g[/math] son funciones tales que [math]\lim_{x\rightarrow c}g(x)=L[/math] y [math]\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(L)[/math], entonces[br][br][math]\lim_{x\rightarrow c}f(g(x))=f(\lim_{x\rightarrow c}g(x))=f(L)[/math]

[b]TEOREMA 1.3.6 Límites de funciones trascendentes.[br][/b]Sea [math]c\in\mathbb{R}[/math] en el dominio de alguna de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.[br][br]1. [math]\lim_{x\rightarrow c}sen[/math][math]x=sen[/math][math]c[/math] 2. [math]\lim_{x\rightarrow x}cos[/math] [math]x=sen[/math] [math]c[/math][br][br]3. [math]\lim_{x\rightarrow c}tan[/math] [math]x=tan[/math] [math]c[/math] 4. [math]\lim_{x\rightarrow c}cot[/math] [math]x=cot[/math] [math]c[/math][br][br]5. [math]\lim_{x\rightarrow c}sec[/math] [math]x=sec[/math] [math]c[/math] 5. [math]\lim_{x\rightarrow c}csc[/math] [math]x=csc[/math] [math]c[/math][br][br]6. [math]\lim_{x\rightarrow c}a^x=a^c[/math], [math](a>0)[/math] 6. [math]\lim_{x\rightarrow c}ln[/math] [math]x=ln[/math] [math]c[/math]

[b]Ejemplos.[/b] [br]Calcule el límite:[br][b]1[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow\frac{5\pi}{3}}(\cos x+\tan^2x)[/math] [b]2[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}e^{-x}\sin x[/math]

[b]TEOREMA 1.3.7 Funciones que coinciden en todos los puntos excepto en uno.[br][/b]Sea [math]c\in\mathbb{R}[/math] y sea [math]f(x)=g(x)[/math] [math]\forall[/math] [math]x\ne c[/math] en un intervalo abierto que contenga a [math]c[/math]. Si existe el [math]\lim_{x\rightarrow c}g(x)[/math] existe, entonces el [math]\lim_{x\rightarrow c}f(x)[/math] también existe y[br][br][math]\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)[/math]

[b]Determine los siguietes límites:[br][br][/b]1. [math]\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-x^2}{2x^2+5x-7}[/math] 2. [math]\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^3-2x^2-5x+6}{2x^3+3x^2-32x+15}[/math] 3. [math]\lim_{y\rightarrow-3}\frac{y^2+2y-3}{y^2+7y+12}[/math] 4. [math]\lim_{x\rightarrow5}\frac{25-x^2}{3x^2-13x-10}[/math]

Determina: [math]\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}[/math]

[b]TEOREMA 1.3.8 Teorema de compresión o del sandwich.[br][/b]Sean[math]f[/math], [math]g[/math] y [math]h[/math] funciones definidas en toda [math]x[/math] de un intervalo abierto [math]I[/math] que contiene a [math]c[/math](excepto posiblemente en c) tales que [br][br] [math]g(x)\le f(x)\le h(x)[/math][br][br]y si, [br] [br] [math]\lim_{x\rightarrow c}g(x)=L=\lim_{x\rightarrow c}h(x)[/math] [br][br]entonces[br][br] [math]\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L[/math]

[b]TEOREMA 1.3.8 Tres límites importantes.[/b][br][br][b]1[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1[/math] [b]2[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x}=0[/math] [b]3[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/math]

Ejemplos.[br]Determine los siguientes límites, si existen.[br][b]1[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{2x}[/math] [b]2[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}[/math] [b]3[/b]. [math]\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{2x^2}[/math]