[right][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]Februar 2022[/b][/i][/color])[/size][/size][/size][/size][/size][/right][size=85]In [color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color] ist es möglich, mit [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] Vektoren wie mit [color=#0000ff][i][b]reellen[/b][/i][/color] Vektoren zu rechnen. [br]Zugrunde legen wir den [b]3[/b]-dimensionalen [color=#38761D][i][b]komplexen Vektorraum[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math]. [br]Das [color=#38761D][i][b]euklidische Koordinatensystem[/b][/i][/color] (s.u.) wird eins-zu-eins in [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color][/size] definiert und übertragen.[br][/size][list][*][size=85]Das [color=#0000ff][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color] [ , ] wird für komplexe Vektoren [br]wie für reelle Vektoren des [color=#38761D][i][b]euklidischen[/b][/i][/color] [b]3[/b]-dimensionalen Vektorraumes berechnet: [b]Cross[g1,g2][/b][/size][br][/*][*][size=85]Das [color=#0000ff][i][b]"Skalarprodukt[/b][/i][/color]" (?) wird ebenfalls analog berechnet: [b]g1.g2[/b] ; es ist komplex natürlich [i][b]nicht[/b][/i] positiv-definit! [br]Dies ist eine Frage der Definition: In [b]wikipedia[/b] (und wahrscheinlich im üblichen Fach-Sprach-Gebrauch) wird [br]für komplexe Vektoren eine positiv-definite Hermitesche Form als "Skalarprodukt " zugrundegelegt. [br]In [/size][size=85][size=85][size=85][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color][/size][/size] ist [math]\left\{z_1,z_2,z_3\right\}.\left\{w_1,w_2,w_3\right\}=z_1\cdot w_1+z_2\cdot w_2+z_3\cdot w_3[/math] eine symmetrische [br]nicht-ausgeartete Bilinearform für komplexe Vektoren.[/size][/*][*][size=85]Die für 2 (Geraden-)Vektoren [b]g1 [/b],[b]g2[/b] aus [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] erklärte [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/zHNtpeNX][u][color=#9900ff][i][b]Hermitesche Form[/b][/i][/color][/u][/url] [b]g1[/b] [math]\wedge[/math] [b]g2[/b] läßt sich nahezu problemlos [br]definieren und rechnerisch nutzen; [br]man muß nur dafür sorgen, dass die Variablen [math]x[/math] und [math]y[/math] als [color=#0000ff][i][b]reelle[/b][/i][/color] Variablen erkannt werden.[/size][/*][*][size=85]Die [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#ff7700][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/vzetbajq]6-Eck-Bedingung[/url][/b][/i][/color][/u] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] läßt sich einfach aus [b]3[/b] Teilen zusammensetzen.[br][/size][/*][/list][size=85][img]data:image/png;base64,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wANuH/VpbW8uQc3sV6+zsbGNjY3FxETtFGcw+xjxwqkZXKNbh4eHdu3epIL2Gv0UPLiwsZBhntF2x9vb28KioCzVyPZg8T0OKJcTlJFAsXBCs4cjISLFY3N3dzeVyw8PD2K/e3t4MOZt1WL+IGfqBgYH4n9epWGjt9evXJycnDw4OsHo9PT35fJ5zMuiHPXizzQx9SCG95jLLFigW9p0KUk0qOzU1ZdLS19eXasGC4e+Q6WD4UlEAAupXLK7LLceNh4PITchdh/RyXdvDMzn+Azm/IuRv6fE/l2IJ0aEEilUoFPwhNuYYU3h8fMywPUPOZh2CNVpY24qKFehTnYpljpFb2cHlqAh6nGH/EVMscggqYus4oooVrEVsgWIhTs4FNGO9tLSUoctKjxWLUYVfU2vMqGLhBvnOSp2KZY6Ra0/zxVGsDF3mFIvc/IrYaCmqWFzaby4plhAdSk3F4mO2fRGTzwrizzEWDjSsomJRvMHBwYpTOjUVC7OeoRalNLOCOAe4I4GctECxaMxAsWZnZ7PlnHBWEBWhpnt7e7h0bjliRcVCCWh8/L/otZIoVpJXL6IknxWkDHionDY+Pk73uUtLsYToRALFwr5g+0ZGRvif5582l8vNzMy4b/k/X1tbW11dJbHmW01pn2MlUSy0jfSKqyeC8zlGoiYnJ4+OjjY3N3t7ezFM7lu8xsXFxZqPoIxUz7FotNYrls3aUU2cHiTk+vXrflPQldSdXkuSc0LFQoHwfkplN4u2NQelomKhbdVedo7OCubzeW45TqajuQmppt/X3FFUhHuv2uu9fpUTKtbc3JzlRuuNjY1ZohRLiA4luvIC+8I//GqZwNBgyMw2JTH3zVCsGKLPsVAa7A7WHJUNHoTwrY39k+TcFYqFf4ADurS0hOUNptFwkemLhPN1CRWLO8TuDTqXkUGMYsUQVazp6WlKS39RgJ2dHf8rLmf9i1LWfKMuuWKRwvDFCi/FEqLTifpYDHIxGfce4/tSs7OzNnNim9NbIidXfMLfXsWinENDQ9gjq8X+/n50LjG44sLCQsUV4Z2vWBh6qu+6DKMfuKGBYuFVUKmKrmratYI4PWRlx/UrFgwLvhkAAAagSURBVN6hvfNr+B2KKpuXjB739PTYMkhUreIr0hnWCt6+fdstiJViCdGhVPSxrl1kfHw8mAPE/XLh8rCe/f39/rfYCxJtKR1wPDU1VSrbF45twUJvby/HztiVGq1YYDEpHJi5YEbRvyIWEHOZz+f9HGgZCok2m8RybHEL+cuxGXe+5di1YVsUyxloR/DGd6BYfKQ1Avmhj2xRzLXywkiO7SkgB6Ojo5ZOk/LR3Qw0+MzMjGvS+hXLxapwUJJgDhBna2Jiwo6RGSoSXeriut4KXKp+TxqMb/xbUYolRIcSKBbDWAw3Ftkta7bV0n6EOow7joVbW4XB8h8Rlcqj4CDYhE28BHEZwLc1jVUsCjw8PIyyWkUWFxfHxsaulR/2VLsixQ5eO7O3uHxsaB/EZQA3Zm+9Yh0dHQ0ODuJmWU3pCwYT6GhfX5/TkuisIH0RrIagj4JK2ezi/QiWLVXGK+WYg4bMCjKgQWifL0ebBNTLBMnpU6l8s3Hv+RrGr+zu8rMNKFW/J0uPX2WzFrAUKZYQTSfDIuBSRLFGRkZ8A2EwUHWJmIz5+fnTMu6EmKCiyXHTjEY9ikUhsXSU0z8BmSHRD+4eKBYnBD/JQOsVC1VGiQNHxJwVNyCIKhaeSkxQx5rQwnhXuCbUl9GA3Xt1KhY9yGgpmKtEn3CM3EeGUNT0vIylZHi33QeVmp2dtUlI96qyFEuIppNtQXOgWFtbW729vYydMUYYFKwDA/Ynn3zSHoNjJtziCzfpVCwWk4d1rwim0/YKoSRuiUSdPhamjWJjzSke6fzN5/P4Iv4SjECx+EkwWk8L7UAmeAZUxCl6sxULocV9JMXWJgBdg/z7L4oFikU/Zggk4cPtcesxbn64TsU6ODhAsciQA76ip2hM7kanSdTCNJgLWfPyMcNb0j7cIa4ibjmlFEuIplMz+EJFLBBAsPgCk4dFs5cusRfO+KJkmEKLqO1WHKSNR1ATzBDlwQqnVSwMnL/ADPkxS21sb2+7gbkt+Mbl8jUy1eWSwFXIH7e1sdmCBeDwWx65ctuF4Ef6Lhe9OTU1NT4+7nrZlko2tkhcBQ81rWJxF/nqTgdZhDCrCBLiAk1xH/b399u9x8jD5dDIOpRv/vVyWBYplhDNJZtiYfWiiy/aiymWb8iSgMnmJ8GS6PZiipU25n0SrH0aPlaoB6pJkVLNNJo8pO3opuKKVO11QymWEI0hm2IJIZIjxRKiMUixhGg2UiwhsnBycpLP52962ItBjppPFF566aX/Ea3i2WefjXZBoVC4WR0LgxQwNTXV7qpcIaIRNaVYQjQG+VhCNBsplhCNQYolRLORYgnRGKRYRrFYvHv3bkctGhTxnJycbG5urq6uxm8N3AlIsYRoDF2tWLY22seWF69HiF8JvV+mVH7eUzFGqmgUtnbfx14kt9cMfOKXvJ+fn3PO2dkZg4yhoaGK8Xk7BymWEI1hYWGh3UXIjimWRSm1N5qdYrkt220H9HjFmpycdHbTj+4jGo4plkVrtDeafcWymLN8W1Oxtra2XLiWwcHBiuHzOwcplhDiEaZMybe6iOLitHKyH5xbNIlUW7FUhP5ywbFyuVyHTwxKsYQQj6hfsQyM4Pj4eLFYbEIZxQXqVyzH6upq/ZGIm40USwjxiEYpFjnUGZxXJKRRinV4eNgV09pSLCHEI9zzqnsem5ubll4tOGnA9va2vfgp0WoBtv8ninXvIranYsLVQH4I9nr2QGkBUiwhxCNMmcbGxm55TE5OJlesQqEwPT1tkb/9XShFkzDFss1NfGzj5iSKdXp6OjU1ZV3G+R0V3jeKFEsI8YiEs4LYuOXl5dHR0aiG7ezsBIutRVNJPitoy0EXFhZmZmb8Jexu94BO20OgIlIsIcQjUj3HYjyecJ5QNI+EinV2dub2kOTkOrdhbCNSLCHEI6RYXUdCxTo5OXEvXXHgdvvtOqRYQohHSLG6jrRrBc/Pzzm5w1+6ikGKJYQo2Y7vpkyYOY5tQ3QOzCbaY3w+OmMnxWovND7dYWsCBwYGOLYhBX85JsWUjGO/m5aXl7v6+aIUSwjx/+MBBsujTZnuRTg7O7OfSLHaC0OKoGsODw9L5TergnQbfJTK62IsCJN8LCHE1UKK1V2gVYVC4X6ZjY2NdhcnI1IsIUQ6Tk9PsX02Sbi7u9vu4oja4FQNDw8PPKZ794KRYgkhhOgOpFhCCCG6AymWEEKI7kCKJYQQojuQYgkhhOgOpFhCCCG6AymWEEKI7kCKJYQQojv4fzeviJK1kVtrAAAAAElFTkSuQmCC[/img][br]Mit dieser [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Bedingung[/b][/i][/color] in [/size][size=85][size=85][size=85][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color][/size][/size] berechnet sich in erstaunlich [i][b]sehr[/b][/i] kurzen Rechenzeiten, dass in allen[br]Fällen, die in diesem [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#cc0000][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168954]book-Kapitel[/url][/b][/i][/color][/u] aufgeführt werden, [color=#ff7700][i][b]6-Ecknetze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] von [b]3[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] vorliegen.[br]Überdies wird in den Fällen, für welche wir nicht direkt begründen konnten, dass es sich [i][b]nicht[/b][/i] um [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] handelt, [br]durch sehr lange Rechenterme mit hohen Potenzen in [math]x[/math] und [math]y[/math] deutlich, dass [i][b]keine[/b][/i] [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color][/size] vorliegen.[br]Natürlich ersetzt dies keine geometrische Erlärung! [br][br]Hier noch einmal eine kurze [color=#ff00ff][i][b]Übersicht[/b][/i][/color] über die Fälle, in denen [b]3[/b] [color=#ff7700][i][b]Infinitesimale[/b][/i][/color] [b]g1[/b], [b]g2[/b], [b]g3[/b] ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] erzeugen:[br][/size][size=85][list][*][b]Fall1: 3[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], deren Achsen im Raum, dh. im [color=#0000ff][i][b]Quadrik-Modell[/b][/i][/color], durch einem gemeinsamen Punkt gehen; [br]diesen Fall haben wir in [size=85][size=85][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color][/size][/size] nicht überprüft.[br][/*][*][b]Fall 2: 3[/b] paarweise kommutative Infinitesimale: [[b]gi[/b],[b]gj[/b]] = [b]0[/b][br][/*][*][b]Fall 3: 2[/b] [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit verschiedenen Polen [b]p1[/b], [b]p2[/b] mit einem gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], [br]das [color=#ff0000][i][b]elliptische[/b][/i][/color] und das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den Polen [b]p1[/b], [b]p2[/b]: ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-4-Netz[/b][/i][/color] mit [i][b]Diagonalen[/b][/i].[/*][*][b]Fall 4:[/b] [b]2[/b] beliebige [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit verschiedenen Polen [b]p1[/b], [b]p2[/b] [br]und ein [size=85][color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size] mit diesen Polen.[/*][*][b]Fall 5:[/b] Ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den Polen [b]p1[/b] und [b]p2, [/b]die [color=#134F5C][i][b]Isogonaltrajektorien[/b][/i][/color] dazu mit einem [br]vorgegebenen Winkel[b] [/b]und ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit einem der Pole.[/*][*][b]Fall 6:[/b] Ein [color=#ff0000][i][b]hyperbolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] und zwei zueinander [color=#0000ff][i][b]polare[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit einem der Pole.[/*][*][b]Fall 7:[/b] Drei [b][color=#ff0000][u][i]elliptische Kreisbüschel[/i][/u][/color][/b], die paarweise je einen von drei Polen [b]p1[/b], [b]p2[/b], [b]p3 [/b]gemeinsam haben. [br]Die [color=#134F5C][i][b]Isogonal-Trajektorien[/b][/i][/color] ([i][b][color=#134F5C]Loxodrome[/color][/b][/i]) zu einem gemeinsamen Winkel bilden ebenfalls ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Gewebe[/b][/i][/color].[/*][*][b]Fall 8:[/b] In derselben Situation bilden 2 der drei [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zusammen [br]mit den [math]\gamma[/math]-[color=#134F5C][i][b]Isogonal-Trajektorien[/b][/i][/color] des 3. [size=85][color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color][/size] ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Gewebe[/b][/i][/color].[/*][*][b]Fall 9:[/b] Ein [color=#ff0000][i][b]hyperbolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den Polen [b]p1[/b], [b]p2[/b], [br]zwei [color=#ff0000][i][b]elliptische Kresibüschel[/b][/i][/color] mit den Polen [b]p1,[/b] [b]p3[/b] bzw. [b]p2[/b], [b]p3[/b], [br]und dasjenige [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit dem Pol [b]p3[/b], dessen [i][b]Kreise[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zum [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [b]p1[/b], [b]p2[/b], [b]p3[/b] sind, [br]bilden ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-4-Gewebe[/b][/i][/color].[/*][*][b]Fall 10[/b]: Zu einer [i][b]ON-Basis[/b][/i], das sind die Punktepaare, die als Schnitt von 3 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] entstehen, [br]gibt es 6 [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit diesen Punkte-Paaren als Pole. Je drei dieser [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] bilden ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Gewebe[/b][/i][/color][/*][/list][/size][size=85]Für einige Variationen der oben aufgeführten Fälle, die in der Aufzählung zu Recht nicht erscheinen, ergibt die[br]rechnerische Kontrolle mit [/size][size=85][size=85][size=85][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color][/size][/size], dass die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]6-Eck-Bedingung[/b][/i][/color][/size] nicht erfüllt ist; meist mit [color=#ff00ff][i][b]sehr langen Rechenzeiten[/b][/i][/color],[br]und als Ergebnis [color=#ff00ff][i][b]sehr lange Terme[/b][/i][/color] in [math]x[/math] und [math]y[/math], mit Potenzen bis zur [b]18[/b]-ten Ordnung! [br]Die Fälle [b]2[/b], [b]5[/b], [b]7[/b] und [b]8[/b] dürften auch die einzigen Fälle zu sein, in welchen [color=#134F5C][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] beteiligt sein können![/size]

[size=85]Im komplexen, 3-dimensionalen Vektorraum[/size] [math]\large\mathcal{G}[/math] [size=85]mit nicht-ausgearteter quadratischer Form [math] \bullet [/math][br]wird eine [i]orientierte[/i] Basis[/size] [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] [size=85]mit[/size] [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0, \mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math] [size=85]ausgewählt, [br]für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen: [/size][br][list][br] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline \bullet & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline \end{tabular}[/math][br][/list][br][size=85]Die Bezeichnung [math]\large\mathcal{G}[/math] ist gewählt, weil sich dieser Vektorraum als [i][b]Geradenraum[/b][/i] des Kugelmodells der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] deuten läßt. [br]Siehe zu diesem [i][b]Übertragungsprinzips[/b][/i] das [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168840]Möbius - Geradenraum[/url][/b][/i][/color][/u][br][br]Das [/size][size=85][size=85][b]Lie[/b]-Produkt[/size] [ , ] wird definiert wie im [color=#9900ff][i][b]euklidischen Vektorraum[/b][/i][/color] das Kreuzprodukt [math]\otimes[/math]:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(\mathbf\vec{g}_1,\,\, \mathbf\vec{g}_2\right)\; \mapsto\;\left[\,\mathbf\vec{g} _{1}\,,\,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math][/size] [size=85]durch die eindeutig bestimmte Linearform [/size] [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right)=\mathbf\vec{g}\bullet \left[\,\mathbf\vec{g} _{1}\,,\,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math] [size=50][size=85] für alle [/size][/size][math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{G}[/math][/*][/list][math]\left(\large\mathcal{G}\;,\bullet,\;\left[\;,\;\right]\;\right)[/math] [size=85]ist damit nichts anderes als eine Komplexifizierung des [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]euklidischen Vektorraumes[/b][/i][/color][/size].[br]Bezogen auf eine [i][b]ON-Basis[/b][/i] [math]\mathbf\vec{e}_1=\left(1,0,0\right)[/math], [math]\mathbf\vec{e}_2=\left(0,1,0\right)[/math], [math]\mathbf\vec{e}_3=\left(0,0,1\right)[/math] erhält man die Darstellung[br][/size][list][*] [math]\mathbf\vec{p}_0=\frac{1}{2}\left(-i\cdot\mathbf\vec{e}_1+\mathbf\vec{e}_3\right),\; \mathbf\vec{g}_0 = -i\cdot \mathbf\vec{e}_2,\; \mathbf\vec{p}_\infty = i\cdot \mathbf\vec{e}_1+\mathbf\vec{e}_3 [/math] [br][/*][/list][size=85][size=85]Die PUNKTE ([color=#9900ff][i]projektiv gesehen[/i][/color]) auf der [color=#0000ff][i][b]Möbiusquadrik[/b][/i][/color] [math]\mathcal{Q}=\left\{\mathbf\vec{p}\in\mathcal{G}\;| \;\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=0\right\}[/math] mit Ausnahme von[/size] [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] [br]erreicht man durch die komplexe Parametrisierung:[/size][br][list] [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p} _\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math] [/list][size=85]Es besteht somit eine 1 zu 1 Beziehung zwischen den [color=#0000ff][i][b]Möbius-Punkten[/b][/i][/color] in [math]\mathbb{C}\cup \{ \infty \}[/math] und den PUNKTEN auf [math]\large\mathcal{Q}[/math].[br]Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen erweist sich als isomoph zu [math]\mathbf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math].[br]Mehr noch: [math]\left(\large\mathcal{G}\;,\bullet,\;\left[\;,\;\right]\;\right)[/math] ist die [b]LIE[/b]-Algebra dieser Gruppe![br]Die Vektoren [math]\mathbf\vec{p}\in \large\mathcal{Q}[/math] lassen sich deuten als [color=#38761D][i][b]Berührgeraden[/b][/i][/color] im Quadrik-Modell, bzw. als [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Für zwei [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbius-Punkte[/b][/i][/color][/size] [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math], repräsentiert durch ihre [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Berührgeraden[/b][/i][/color][/size] [math]\mathbf\vec{p}(z_1),\;\mathbf\vec{p}(z_2)[/math] ist[br][list][*][math]\mathbf\vec{p}(z_1\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)=\frac{(z_1-z_2)^2}{2}[/math] [/*][*]und für die [color=#38761D][i][b]Verbindungsgerade[/b][/i][/color] [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2):=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}(z_1)\,,\,\mathbf\vec{p}(z_2\,\right]}{\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)}=\frac{1}{z_1-z_2}\left( z_1\cdot z_2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+(z_1+z_2)\cdot\mathbf\vec{g}_0+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math] [br]gilt [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\bullet\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)=-1[/math]. [/*][/list]Die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Verbindungsgeraden[/b][/i][/color][/size] [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)[/math] lassen sich als [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den Polen [math]z_1,z_2[/math] deuten,[br]die [color=#38761D][i][b]polaren Geraden[/b][/i][/color] [math]i\cdot \mathbf\vec{g}(z_1,z_2)[/math] entsprechend als [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Die Vektoren [math]e^{i\cdot\alpha}\cdot \mathbf\vec{g}(z_1,z_2)[/math] sind die infinitesimalen Erzeugenden von [color=#9900ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] zum Winkel [math]\alpha[/math] für die besagten [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Im komplexen Vektorraum [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] sei ein [color=#9900ff][i][b]euklidisches Koordinatensystem[/b][/i][/color] ausgezeichnet.[br]Wie berechnet man zu einer [color=#38761D][i][b]infinitesimalen Bewegung[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\vec{g}}\in \mathbf{\mathcal{G}}[/math] die Wirkung der durch sie erzeugten [color=#0000ff][i][b]Bewegung[/b][/i][/color] [br]auf die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]z\in\mathbb{C}[/math]?[br]Zunächst berechnet man die [b]Pole[/b], bzw. den [i][b]Pol[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Bewegung[/b][/i][/color]:[br][/size][list][*][size=85]Die [color=#cc0000][i][b]komplexe quadratische Gleichung[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\vec{g}}\bullet\mathbf{\vec{p}}(z)=0[/math] besitzt stets zwei oder eine doppelt-zählende Lösung [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math].[/size][/*][/list][size=85]Daher gibt es nur zwei Typen von [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]infinitesimalen Bewegungen[/b][/i][/color][/size] : 1-polige und 2-polige.[br][br][color=#cc0000][i][b][size=100]W-Bewegungen - W-Kurven[/size][/b][/i][/color][br][color=#cc0000][i][b]W-Bewegungen[/b][/i][/color] werden die [i][color=#0000ff][b]1-Parameter-Untergruppen[/b][/color][/i] der [i][b]Bewegungsgruppe[/b][/i] einer Geometrie genannt; [br][color=#cc0000][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] sind die [i][b]Bahnen[/b][/i] der [i][color=#cc0000][b]W-Bewegungen[/b][/color][/i].[br]Für die [color=#cc0000][i][b]Bewegungsgruppe[/b][/i][/color] der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Geometrie[/b][/i][/color] definieren wir für [math]\mathbf{\vec{g}}\in \mathbf{\mathcal{G}}[/math] die [color=#38761D][i][b]infinitesimale Bewegung[/b][/i][/color]:[br][/size][list][*][size=85] [math]\mathbf{ad}\,\mathbf{\vec{g}}[/math] durch [math]\mathbf{ad}\,\mathbf{\vec{g}}\; \mathbf{\vec{\tilde{g}}} = \left[\,\mathbf{\vec{g}}\,,\,\mathbf{\vec{\tilde{g}}}\,\right]\,[/math] für alle [math]\mathbf{\vec{\tilde{g}}}\in \mathbf{\mathcal{G}}[/math][/size][/*][/list][size=85]und damit die [color=#0000ff][i][b]1-Parameter-Untergruppe[/b][/i][/color][br][/size][list][*][size=85][math]t\mapsto \mathbf{exp}\left(t\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf{\vec{g}}\right)[/math], der Parameter [math]t[/math] kann [i][b]reell[/b][/i], aber auch [i][b]komplex[/b][/i] sein.[br][/size][/*][/list][size=85]Wie oben gibt es wesentlich nur zwei Typen: 1-polige - und 2-polige Bewegungen; [br]diese werden exemplarisch unten ermittelt.[/size]

[size=85]Man berechnet für[/size] [math]a\cdot \mathbf{\vec{p}}_{\infty}[/math], [math]a\in\mathbb{C}[/math] [size=85]in der [math]w[/math]-Ebene[/size][br][list][*][size=85] [/size] [math] \mathbf{exp}\left(t\cdot a\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf{\vec{p}}_{\infty}\right)\; \mathbf{\vec{p}}(w)=\mathbf{\vec{p}}(w)+t\cdot a\cdot \left[\,\mathbf{\vec{p}}_{\infty}\,,\,\mathbf{\vec{p}}(w)\,\right]\,+\frac{(t\cdot a)^2}{2}\left[\,\mathbf{\vec{p}}_{\infty}\,,\,\left[\,\mathbf{\vec{p}}_{\infty}\,,\,\mathbf{\vec{p}}(w)\right]\right]...=\mathbf{\vec{p}}(w+t\cdot a)[/math] [/*][*][size=85] mit den Bahnkurven[/size]: [math]w\left(t\right)=w_0+t\cdot a[/math] [size=85]durch[/size] [math]w_0\in\mathbb{C}[/math]-[br][/*][/list][size=85]Dies folgt mit den oben angegebenen Regeln des [color=#9900ff][i][b]Euklidischen Koordinatensystems[/b][/i][/color].[br]Die [color=#cc0000][i][b]W-Bewegung [/b][/i][/color]besteht aus einer 1-parametrischen Gruppe von [color=#0000ff][i][b]Verschiebungen[/b][/i][/color].[br]Ist allgemeiner [math] \mathbf{\vec{g}}=a\cdot\mathbf{\vec{p}(z_{\infty})[/math] mit [math]a\in\mathbb{C}[/math] und [math]z_{\infty}\in\mathbb{C}[/math] eine [color=#38761D][i][b]parabolische infinitesimale Bewegung[/b][/i][/color], so berechnet man [br]entsprechend die Bahnkurven der [color=#38761D][i][b]parabolischen[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]1-parametrischen Bewegung[/b][/i][/color] in der [math]z[/math]-Ebene:[br][/size][list][*] [size=85]die Kurven[/size] [math]z\left(t\right)=\frac{1}{\frac{1}{z_0-z_{\infty}}+t\cdot a}+z_{\infty}[/math] [size=85]sind [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch Punkte [math]z_0\in\mathbb{C}[/math], die sich in [math]z_{\infty}[/math] berühren.[/size][br][/*][/list][size=85]Die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]w=\frac{1}{z-z_{\infty}}[/math] bildet [math]z_{\infty}[/math] auf [math]\infty[/math] ab, [math]z=\frac{1}{w}+z_{\infty}[/math] ist die [color=#0000ff][i][b]Umkehr-Transformation[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#00ffff][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] berechnen sich mit [math]w'=a\cdot \mathbf{\vec{p}}_{\infty}\bullet \mathbf{\vec{p}(w)[/math] bzw. mit [math]z'=a\cdot \mathbf{\vec{p}(z_{\infty})\bullet \mathbf{\vec{p}(z)[/math][br]Siehe das [color=#980000][i][b]book-Kapitel[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel oder Lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url].[/size]

[size=85]Exemplarisch ergibt sich für [math]\mathbf{\vec{g}}=a\cdot\mathbf{\vec{g}}_0 [/math] in der [math]w[/math]-Ebene mit [math]a\in\mathbb{C}[/math] und [math]\mathbf{\vec{g}}_{0}[/math] wie oben im [color=#45818e][i][b]Euklidischen KOS[/b][/i][/color] erklärt.[br][/size][list][*][size=85][math] \mathbf{exp}\left(t\cdot a\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf{\vec{g}}_{0}\right)\; \mathbf{\vec{p}}(w)=\mathbf{\vec{p}}\left(e^{t\cdot a}\cdot w\right)[/math] [br][/size][/*][/list][size=85]Die [color=#3c78d8][i][b]Bahnkurven[/b][/i][/color] in der [math]w[/math]-Ebene sind für reelles [math]a[/math] [color=#3c78d8][i][b]Ursprungsgeraden[/b][/i][/color], für imaginäres [math]a[/math] [color=#3c78d8][i][b]konzentrische Kreise[/b][/i][/color] um 0, [br]und sonst [color=#3c78d8][i][b]logarithmische Spiralen[/b][/i][/color] um 0.[br]Ist in der [math]z[/math]-Ebene [math]\mathbf{\vec{g}}=a\cdot \mathbf{\vec{g}}(p_1,p_2)[/math] (s.o) für 2 Pole [math]p_1,p_2\in\mathbb{C}[/math] erklärt, so ergeben sich die Bahnkurven[br][/size][list][*][size=85][math]z\left(t\right)=\frac{p_2\cdot e^{\left(-t\cdot a\right)}\cdot\left(z_0-p_1\right)-p_1\cdot\left(z_0-p_2\right)}{e^{\left(-t\cdot a\right)}\cdot\left(z_0-p_1\right)-\left(z_0-p_2\right)}[/math] durch [math]z_0\in\mathbb{C}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Reelles [math]a[/math] führt auf [color=#cc0000][i][b]elliptische Kreise[/b][/i][/color] durch [math]p_1,p_2[/math], imaginäres [math]a[/math] auf [color=#cc0000][i][b]hyperbolische Kreise[/b][/i][/color] um [math]p_1,p_2[/math], und sonst[br]erhält man [color=#cc0000][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] um [math]p_1,p_2[/math].[br]Zwischen den Ebenen vermitteln die[color=#0000ff][i][b] Möbius-Transformationen[/b][/i][/color] [math]w=\frac{z-p_1}{z-p_2}[/math] und [math]z=\frac{w\cdot p_2-p_1}{w-1}[/math].[br]Die [color=#00ffff][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] sind wieder [math]w'=a\cdot \mathbf{\vec{g}}_{0}\bullet \mathbf{\vec{p}}\left(w\right)[/math], bzw. [math]z'=\mathbf{\vec{g}}\cdot \mathbf{\vec{p}}\left(z\right)[/math]; [br]siehe [/size][size=85][size=85]das [color=#980000][i][b]book-Kapitel[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel oder Lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url].[/size][br][br][/size][size=85]Beweglich sind im Applet[/size] [math]p_1,p_2,a,z_0,g_0[/math].