Da die Normalverteilung eine Art einhüllender Funktionsraph für eine Binomialverteilung ist, können die Ergebnisse einer Biomialverteilung oft auch mit einer Normalverteilung berechnet werden. Das ist insbesondere für sehr große [math]n[/math] ein Vorteil, weil dann eine Lösung mit den Werkzeugen der Analysis weniger Rechenaufwand bedeutet als das Berechnen einer Summe bei der kumulierten Binomialverteilung.[br][br]In der mathematischen Literatur ist die Möglichkeit, Berechnungen der Binomialverteilung mit der Normalverteilung anzunähern, als [b]Satz von Moivre-Laplace[/b] bekannt und auch bewiesen worden. Dieser Satz sagt aus, dass die Binomialverteilung für [math]n\to\infty[/math] in die Normalvertielung übergeht.[br][br]Diese Näherung ist daher auch nur eine gute Näherung, wenn die [b][color=#980000]Laplacebedingung[/color][/b] erfüllt ist:[br][math]\Large{\boxed{\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}>3}}[/math]
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit von Häufigkeiten, also von ganzen Zahlen. In der graphischen Darstellung ist die Binomialverteilung daher ein Diagramm aus vielen Säulen, für jedes [math]k[/math] eine. Jede dieser Säulen hat die Breite [math]1[/math]. Je nach dem, ob die einfache oder eine kumulierte Binomialverteilung berechnet wird, wird die Fläche einer dieser Säulen oder mehrerer Säulen berechnet. Wenn genau diese Fläche mit Hilfe der Normalverteilung berechnet werden soll, dann wird dies mit einem Integral gelöst. Wenn als Integrationsgrenzen dabei die Grenzen [math]k_1[/math] und [math]k_2[/math] aus der Binomialverteilung verwendet werden, dann ist die Fläche unter der Normalverteilung an beiden Seiten etwas zu klein.
Beispiel mit [math]n=15[/math] und [math]p=0,4[/math] bzw. [math]\mu=6[/math] und [math]\sigma=1,9[/math][br]Die rote Fläche ist das Integral von [math]k_1[/math] bis [math]k_2[/math]: [math]N(6;1,90;4\le X\le 6)= [br]\frac{1}{1,90\cdot\sqrt{2\pi}}\int\limits_{4}^{6}e^{-\frac 12\left(\frac{x-6}{1,90}\right)^2}dx[/math] [br]Diese Fläche ist an den Rändern links und rechts offenbar kleiner als die der blauen Balken der Binomialverteilung [math]P(15;0,4;4\le X\le6)[/math].
Um das zu korrigieren, müssen die Integrationsgrenzen daher jeweils um [b]eine halbe Balkenbreite [/b]erweitert werden, also[br][list][*]untere Integrationsgrenze [math]=k_1-\frac{1}{2}[/math] [/*][*]obere Integrationsgrenze [math]=k_2+\frac{1}{2}[/math] [/*][/list]
Beispiel mit [math]n=15[/math] und [math]p=0,4[/math] bzw. [math]\mu=6[/math] und [math]\sigma=1,9[/math][br][math]P(15;0,4;4\le X\le 6)\approx N(6;1,90;3,5\le x\le 6,5)=[br]\frac{1}{1,90\cdot\sqrt{2\pi}}\int\limits_{3,5}^{6,5}e^{-\frac 12\left(\frac{x-6}{1,90}\right)^2}dx[/math][br]Allerdings wäre diese Näherung für [math]n=15[/math] und [math]p=0,4[/math] auch mit den korrigierten Integrationsgrenzen nicht so gut, weil hier die Laplace-Bedingung [math]\sigma>3[/math] nicht erfüllt ist.
Im folgenden Applet, kann die Binomialverteilung mit der Normalverteilung verglichen werden. Überzeugen Sie sich jeweils selbst, ob die Laplace-Bedingung bei den eingestellten Werten für n und p erfüllt ist oder nicht. Die Parameter [math]\mu[/math] und [math]\sigma[/math], die für das Berechnen der Normalverteilung notwendig sind, müssen auch noch mit [math]\mu=n\cdot p[/math] und [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}[/math] berechnet werden.