Essa igualdade pode ser deduzida considerando o Teorema de Tales.
Geometria Analítica Plana
Esse material foi organizado para servir de texto/atividades básicas para a revisão da geometria analítica plana para cursos superiores ou estudo da mesma em cursos de nível médio.
Table of Contents
- Plano Cartesiano
- O Plano Cartesiano
- Pontos no Plano Cartesiano
- Coordenadas do Ponto
- Distância entre dois pontos no plano
- Distância entre dois pontos
- Ponto Médio entre dois pontos
- Ponto Médio entre dois pontos no plano
- Retas no Plano
- Retas no Plano Cartesiano
- Coeficiente Angular de uma reta no plano
- Equações da Reta no Plano
- Circunferência
- Circunferência
- Cônicas
- Elipse - Construção e Elementos principais
- Elipse - Equações
- Parábola - Construção
- Equação da Parábola
- Atividades Extras
- Atividades Extras
O Plano Cartesiano
Sobre o nome do plano
O plano cartesiano foi idealizado pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat no século XVII, com a finalidade de representar graficamente os pares ordenados (x,y) de números reais.
Elementos básicos do Plano Cartesiano
[b]Sistema Cartesiano:[/b] É construído a partir de duas retas reais orientadas que se cruzam perpendicularmente. Esse ponto de interseção é dita origem do sistema cartesiano.[br][b]Eixos:[/b] O eixo horizontal é chamado Eixo das Abcissas e o eixo vertical é chamado Eixo das Ordenadas. [br][b]Quadrantes:[/b] Cada uma das regiões delimitadas pelos eixos é chamado quadrante. É importante perceber que existe uma relação direta entre o quadrante e o sinal de cada coordenada do ponto.
Elementos Básicos do Plano Cartesiano
Atividade 1
Selecione cada uma das caixas à direita e verifique o elemento correspondente.
Atividade 2
Como você descreveria os elementos do Primeiro Quadrante (Q1)?
Atividade 3
Como você descreveria os elementos do Segundo Quadrante?
Atividade 4
Como você descreveria os elementos do Terceiro Quadrante?
Atividade 5
Como você descreveria os elementos do Quarto Quadrante?
Coordenadas do Ponto
Coordenadas de um ponto no plano
Um ponto qualquer P é determinado no plano cartesiano pelo par ordenado (x,y), conforme o seguinte:
Coordenadas do Ponto P
Movimente o ponto P (basta clicar e arrastar) e observe suas coordenadas.
Atividade 1
No applet abaixo, mova os pontos A, B, C, D, E e F (respectivamente) a fim de formar o seguinte conjunto: [math]\left\{\left(0,-1\right),\left(0,3\right),\left(-1,0\right),\left(2,0\right),\left(1,2\right),\left(-2,1\right)\right\}[/math].
Applet para a Atividade 1
Atividade 2
Mova os pontos A, B, C, D, E, F e G (respectivamente) a fim de representar o conjunto: [math]\left\{\left(x,y\right)\mid x\in\mathbb{Z},y\in\mathbb{Z},x=y\right\}[/math].
Applet da Atividade 2
Atividade 3
Considere a atividade anterior, porém com x e y reais, ou seja, [math]\left\{\left(x,y\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R},x=y\right\}[/math]. O que seria construído no plano para representar esse conjunto?
Atividade 4
Mova os pontos do applet abaixo de modo que satisfaçam a seguinte condição: [math]\left\{\left(x,x^2\right)\mid x\in\mathbb{Z},-2\le x\le3\right\}[/math].
Applet da Atividade 4
Atividade 5
Use os objetos do applet (reta ou a região destacada) para representar o conjunto [math]\left\{\left(x,y\right)\mid x>y\right\}[/math].[br]Obs: Movimente os pontos que julgar necessário para representar o conjunto. A construção que não for utilizada deverá ser deletada, bastando clicar em um de seus pontos e deletar.
Applet da atividade 5
Distância entre dois pontos
Definição
A distância entre dois pontos A e B no plano cartesiano é dada pelo comprimento do segmento de reta AB.
Distância entre dois pontos no Plano Cartesiano
Atividade 1
No applet acima, movimente os pontos A e B e observe o que acontece com o segmento AB e, consequentemente, com a distância entre A e B.[br]Faça vários testes, inclusive deixando o segmento na horizontal, na vertical e em posições inclinadas. [br]Tente identificar alguma relação entre as coordenadas dos pontos e a distância entre eles. Vamos por partes:[br]a) Quando o semento está na horizontal, como pode ser calculada tal distância entre os pontos?[br]b) E na vertical? Como podemos indicar a distância entre A e B?[br]c) Quando o segmento está inclinado, a relação entre as coordenadas e distância entre os pontos é imediata?
Distância entre dois pontos utilizando Pitágoras
Construção da fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos
No applet acima, chamemos o ponto [math]A=\left(x_a,y_a\right)[/math] e [math]B=\left(x_{b,}y_b\right)[/math]. Podemos perceber que o triângulo AKB é retângulo e a distância que procuramos é exatamente a sua hipotenusa d.[br]Observando os catetos, percebemos que o cateto c é paralelo ao eixo OY e seu comprimento é a diferença entre as ordenadas de B e A. Ou seja [math]c=\left(y_b-y_a\right)[/math].[br]Semelhante ao que acontece com o cateto b, que é paralelo ao eixo OX e seu comprimento é a diferença entre as abcissas de B e A. Ou seja [math]b=\left(x_b-x_a\right)[/math].[br]Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a distância d fazendo [math]d^2=\left(y_b-y_a\right)^2+\left(x_b-x_a\right)^2[/math]
Atividade 2
Escolha dois pontos A e B no plano, sendo A no segundo quadrante e B no quarto quadrante e faça o cálculo da distância entre eles. No espaço abaixo escreva os pontos A e B e a distância entre A e B.
Ponto Médio entre dois pontos no plano
Definição
[math][/math][math][/math][math][/math]Dados dois pontos A e B no plano cartesiano, o ponto equidistante a ambos é chamado ponto médio [math]M_{AB}[/math].[br]Ou seja, a distância entre A e M é igual à distância entre B e M.[br]Podemos também definir [math]M_{AB}[/math] como o ponto médio do segmento AB.
Ponto Médio entre dois pontos no plano
Atividade 1
Movimente os pontos A e B e observe o que acontece com o ponto M.[br]A cada movimento desses, tente estabelecer uma relação entre as coordenadas de A e B com as coordenadas de M.[br]Você consegue estabelecer tal relação? Em caso positivo, qual?
Calculando as coordenadas do ponto médio
Atividade 2
Movimente os pontos A e B (somente no primeiro quadrante pois temos a limitação no applet).[br]Escolha duas posições para A e B e realize o cálculo das coordenadas do ponto médio MAB, registre no espaço abaixo e confira utilizando o applet acima.
Retas no Plano Cartesiano
Definição
Uma reta r é o conjunto infinito de pontos alinhados no plano.[br]A rigor, é o conjunto de pontos que satisfazem a equação linear [math]ax+by=c[/math], com [math]a\ne0[/math] ou [math]b\ne0[/math].
Condição de alinhamento de três pontos no plano
Se considerarmos os pontos [math]A\left(xa,ya\right)[/math], [math]B\left(xb,yb\right)[/math] e [math]C\left(xc,yc\right)[/math] no plano cartesiano, podemos afirmar que os três estarão alinhados se, e somente se, o determinante D seguinte for zero.[br]
Verificando o alinhamento
Atividade 1
Movimente os botões na lateral direita. Cada um deles está associado a uma coordenada (x ou y) de um dos pontos (A, B ou C).[br]Escolha uma posição para cada ponto e verifique o valor D. Esse valor é o resultado do determinante calculado conforme a explicação acima.[br]Depois disso, clique na caixa de seleção "reta" e verifique se realmente os pontos estão alinhados ou não.[br]Teste com várias coordenadas para cada ponto. Escolha uma posição deles e complete no espaço abaixo:[br]Ponto A=[br]Ponto B=[br]Ponto C=[br]Valor do determinante D=[br]Resultado: Estão alinhados, sim ou não?
Inclinação da reta
A inclinação de uma reta r no plano é definida como o ângulo que a mesma determina com o eixo OX, no sentido anti-horário.
Inclinação da reta
Atividade 2
Movimente o ponto A, movimentando assim a reta, e verifique o que acontece com o ângulo [math]\alpha[/math].[br]O que representa esse ângulo?
Atividade 3
Movimento o ponto A, de modo que a reta fique perpendicular ao eixo OX. Qual é o valor de [math]\alpha[/math] nessa situação?
Atividade 4
Aqui temos uma limitação na construção do applet pois, surge da definição que [math]0º\le\alpha<180º[/math].[br]Posicione o ponto A de uma forma que o ângula destacado apareça maior que 180º, escreva abaixo o ponto, o ângulo marcado no applet e determine a real inclinação da reta nessa situação.
Coeficiente angular da reta
O coeficiente angular ou a declividade da reta r é definida como a tangente de seu ângulo de inclinação.[br][math]m=tan\left(\alpha\right)[/math]
Circunferência
Sobre a construção
Movimente o ponto P no applet seguinte e observe o que acontece durante essa ação. [br]
Primeiras observações
1 - O que acontece quando você movimenta P? O que você observa em relação ao ponto O? E em relação ao segmento d?[br][br][br]
Definição de Circunferência
Uma [b]circunferência[/b] é uma linha fechada no plano cartesiano, formada pelo conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância fixa de uma ponto central, denominado [b]centro[/b]. Um segmento de reta entre o centro e um ponto na circunferência é chamado [b]raio[/b]. [br]No applet abaixo, temos: [br]Centro: O [br]Raios: OA e OB[br][br]OBS: os pontos A e B pertencem à circunferência, pois ambos distam 2,81 do centro O.
Pontos A e B pertencem à Circunferência de Centro O
Estudo Analítico da Circunferência
Considere uma circunferência de centro no ponto O(a,b) e raio r, e um ponto A(x,y) pertencente a ela. [br]Utilize o applet seguinte para analisar as próximas questões.[br][br]
Equação Reduzida da Circunferência
Alterando os valores de a e b.
2 - Altere os valores de a e b, arrastando o botão deslizante. Observe o que acontece com a circunferência e com sua equação reduzida. [br]Por exemplo, coloque a=1 e b=2. [br]O que você observa na circunferência? [br]Onde se localiza o centro dessa circunferência?[br]E a equação reduzida, o que esses valores alteraram nela?
Alterando o valor do raio.
3 - Altere o valor de r movendo o botão deslizante. [br]O que esse valor significa na circunferência?[br]Como ele altera a equação reduzida?
Posições relativas entre ponto e circunferência
Considerando que uma circunferência é o conjunto de pontos que estão à uma mesma distância de um ponto central, caso consideremos um ponto P qualquer no plano, podemos ter três situações:[br][br]P é ponto interno à circunferência: no caso da distância entre o centro e P ser menor que o raio da circunferência;[br]P é um ponto externo à circunferência: no caso da distância entre o centro e P ser maior que o raio da circunferência;[br]P é ponto pertencente à circunferência: no caso da distância entre o centro e P ser igual ao raio.[br][br]Utilize o applet abaixo, arraste o ponto P para "fora" e para "dentro" da circunferência e observe as mensagens.[br]Devido a uma limitação, para observar o ponto "pertencente", é necessário sobrepor o ponto P ao ponto A. (estamos tentando resolver isso).
I - Posição do ponto P
4 - Arraste o ponto P até (7,4). Calcule a distância entre P e O e escreva qual é a posição de P em relação à circunferência (de centro (2,3) e raio 3).
II - Posição do ponto P
5 - Arraste o ponto P até (0,2). Calcule a distância entre P e O e escreva qual é a posição de P em relação à circunferência (de centro (2,3) e raio 3).
III - Posição do ponto P
6 - Arraste o ponto P até (2,0). Calcule a distância entre P e O e escreva qual é a posição de P em relação à circunferência (de centro (2,3) e raio 3).
Leia a atividade, siga as orientações e responda em seu caderno ou em um documento de texto.
Em breve adicionarei aqui a forma de entrega
Acompanhe vídeo-aula sobre circunferência baseada nesse material no canal do MatemáTDIC
Elipse - Construção e Elementos principais
Mova o ponto P e observe o que acontece:
1 - Após observado que os pontos F1 e F2 são fixos (não se movem), o que acontece com a soma das distâncias PF1 e PF2?
Definição da Elipse
Elipse é o conjunto de pontos P cuja soma das distâncias de P aos focos F1 e F2 é constante.
Elementos da Elipse
2 - Selecione as caixas Centro e Focos, veja as informações sobre os focos e marque as afirmações verdadeiras:
3 - Limpe as caixas de seleção e marque somente a caixa "Eixo Maior". Observe as informações e selecione as afirmações verdadeiras:
4 - Limpe as caixas de seleção e marque somente a caixa "Eixo Menor". Observe as informações e selecione as afirmações verdadeiras:
5 - Limpe as caixas de seleção e marque somente as caixas "Centro", "Focos" e "Ponto P". Observe as informações, mova o ponto P e observe a informação "Soma" e responda:
6 - Limpe todas as caixas de seleção e marque apenas a caixa "Excentricidade". Observe seu valor e selecione a afirmação correta:
Assista à vídeo-aula sobre construção da Elipse baseada nesse material no canal do MatemáTDIC.
Atividades Extras
Atividade 1 - Revisão
https://www.geogebra.org/m/Vb6nYpzd[br]
Atividade 2
https://www.geogebra.org/m/FCWHTmuF