[b]Tétel: Szorzat logaritmusa[/b] egyenlő a tényezők logaritmusának  összegével:[br][center][math]log_a\left(x\cdot y\right)=log_ax+log_ay[/math], ahol x, y>0, a>0, a[math]\ne[/math]1.[/center][br][b]Bizonyítás:[/b] A logaritmus definíciója alapján:[br][center][math]x=a^{log_ax}[/math] és [math]y=a^{log_ay}[/math], illetve [math]x\cdot y=a^{log_a\left(x\cdot y\right)}[/math][/center][br]Nézzük az állítás bal oldalát:[br][math]log_a\left(x\cdot y\right)=log_a\left(a^{log_ax}\cdot a^{log_ay}\right)=log_aa^{log_ax+log_ay}=log_ax+log_ay[/math][br]az azonos alapotú hatványok szorzása és a logaritmus definíciója miatt.[br]Így a bizonyítandó állítás igaz.[br][b]Tétel: Tört logaritmusa[/b] megegyezik a számláló és a nevező logaritmusának különbségével:[br][center][math]log_a\left(\frac{x}{y}\right)=log_ax-log_ay[/math] ,ahol x,y>0, a>0, a[math]\ne[/math]1.[/center][br][b]Tétel:Hatvány logaritmusa[/b] az alap logaritmusának és a kitevőinek a szorzata:[br][center][math]log_ax^k=k\cdot log_ax[/math] ,ahol x>0, a>0 ,a[math]\ne[/math]1,k[math]\in[/math]R.[/center][br][b]Tétel: Áttérés más alapú logaritmusra:[/b][br][center][math]log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}[/math] , ahol a,b,c>0, a,c[math]\ne[/math]1.[/center][br][b]Bizonyítás:[/b] A logaritmus definíciója alapján: [math]b=a^{log_ab}[/math].[br]Írjuk fel: [math]log_xb=log_ca^{log_ab}=log_ab\cdot log_ca.[/math] ,[br]a logaritmus definíciója és a hatvány logaritmusa miatt.[br]Kaptuk: [math]log_cb=log_ab\cdot log_ca[/math] :/ [math]log_ca\ne0[/math] feltételek miatt.[br]Ígz: [math]log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}[/math]. Ez a bizonyítandó állítás.