Per a fer aquest taller es recomana:

• La utilització del Geogebra Classic 5, és l'aplicació d'ordinador, pot ser per Windows o per Apple. La utilització d'una altra versió pot ser que difereixi una mica de la que es mostrarà en el Taller.
• Es recomana tenir coneixements del full de càlcul de GeoGebra, en cas contrari us deixo un parell de documents per a trobar més informació:
• Material del Taller "El full de càlcul de GeoGebra i la Geometria dinàmica"
• Vídeo del taller impartit durant la XIII edició de les Jornades de l'Associació Catalana de GeoGebra.

En aquesta pàgina et vull mostrar la diferència entre dibuixar i construir. Per fer-ho treballarem amb la representació dièdrica d'una piràmide de base quadrada. En aquest pàgina trobaràs:

1. Un document de GeoGebra amb un dibuix de la piràmide, prova de moure algun punt a veure què passa.
2. Un vídeo explicatiu del què significa dibuixar o construir amb GeoGebra.
3. Un document de GeoGebra amb una construcció de la mateixa piràmide, veuràs que si mous algun punt (els de color) d'aquesta, la piràmide es modifica però no es deforma.

Per començar el taller mirarem de fer aquesta construcció, veureu que es bastant senzill de fer... (o això crec jo).

COMENÇAREM AMB LA PROJECCIÓ D'UN PUNT Per començar el dièdric, necessitem saber com projectar un punt. Recordem que les projeccions en aquest sistema SEMPRE són perpendiculars al plans de projecció, que poden ser els principals, HORITZONTAL i VERTCIAL, o qualsevol altra pla de projecció, de PERFIL (perpendicular als dos principals) o qualsevol altre que sigui perpendicular a un dels plans de projecció, amb el procediment que denominem CANVI de PLA (que pot ser vertical o horitzontal, depenent de a quin pla principal de projecció sigui perpendicular.

COMENÇAREM AMB LA PROJECCIÓ D'UN PUNT Primer de tot, a partir d'un document en blanc, veurem com:

• Crear un punt en l'espai 3D.
• Modificar la seva posició
• Crear els tres plans de projecció

PH=Pla(z=0), PP= Pla(x=0) i PV=Pla(y=0)

• Projectar el punt sobre el pla, a partir de la recta perpendicular

Perpendicular(A,PH) (repetir per cada pla)

• Intersecció entre la perpendicular i el pla

a=Intersecció(Perpendicular(A,PH),PH)

• Segment que uneix el punt A i a (recta de correspondència)

Segment(A,a) Aquest és el document que hauríem d'arribar a fer:

Farem l'abatiment dels punts Els que no heu arribat fins al document anterior, podeu començar amb aquest que us he deixat. Ara que ja tenim el punt projectat als plans de projecció, en farem l'abatiment, haurem de girar els plans 90º (són perpendiculars), agafant les interseccions entre els plans com a eix de gir:

• Intersecció entre plans

lt=Intersecció(PH,PV) (repetir per cada parella de plans

• Girem un dels punts fins a tenir-lo sobre el pla horitzontal, per tenir-ho tot en un sol pla.

Rotació(a'',90º,lt) (depenent de la definició de la línia de terra, pot ser que l'angle hagi de ser negatiu)

• Fem l'arc de circumferència que indiqui el radi de gir.
• El gir del punt projectat sobre el Pla de Perfil.

TEORIA: El sistema dièdric és un mètode de projecció cilíndrica ortogonal sobre dos plans de projecció perpendiculars entre ells, que es coneixen com a diedre de referència. D'aquesta manera s'obtenen la planta i l'alçat del cos geomètric que es vol representar. Quan el cos a representar ofereix complexitat o amb les dues projeccions pot ser que es puguin formar diferents solucions llavors s'afegeixen altres plans auxiliars de projecció. Normalment el tercer pla de projecció és perpendicular als altres dos, d'aquesta manera s'obté el pla de perfil. En el sistema dièdric els dos plans principals de projecció són un horitzontal i l'altre vertical. S'anomenen pla horitzontal de projecció (PH o PHP) i pla vertical de projecció (PV o PVP). També es poden fer servir altres plans de projecció segons el que interessi mostra, sempre aquests són perpendicular com a mínim a un dels altres plans de projecció.. Si fem girar les projeccions per la recta d'intersecció dels diferents plans de projecció fins que els tres quedin coplanaris, llavors tenim les tres projeccions en un mateix pla. Podeu experimentar-ho en els següent document. Utilitza els elements de control per veure la relació entre elements i/o desplaça els punts vermells per veure com es modifica el volum.

TEORIA DEL SISTEMA DIÈDRIC

Com ja hem dit el sistema dièdric utilitza el mètode de projecció cilíndrica ortogonal sobre dos plans ortogonals de projecció (hi ha més d'un pla del quadre). D'aquesta manera s'obtenen les diferents vistes dièdriques de qualsevol cos tridimensional. Les vistes principals dièdriques són la planta i l'alçat de l'element que es vol representar. Que corresponen a la projecció horitzontal PHP i vertical PVP respectivament. COMPONENTS DEL SISTEMA DIÈDRIC En el sistema dièdric podem trobar: Plans principals de projecció: es defineixen per les inicials en majúscules.

• PHP - Pla horitzontal de projecció o (XoY): Correspon amb la representació en planta de la figura.
• PVP - Pla vertical de projecció (XoZ): Correspon amb la representació de l'alçat de la figura, o també anomenat pla vertical.

Plans auxiliars de projecció:

• PPP - Pla de perfil de projecció o (YoZ): Correspon amb la representació del perfil de l'objecte.
• Altres plans de projecció depenent del que sigui necessari.

Elements geomètrics de l'espai. Maneres de representar:

• Punts. per representar el punt real (3D) s'utilitzen les lletres A, B, C... (majúscules), però per les projeccions als plans s'utilitza les lletres en minúscula a, b, c... en planta i per l'alçat a', b' i c'....
• Rectes. s'utilitzen les lletres minúscules a partir de la r, s, t, u...
• Plans. Es representen per les lletres gregues minúscules 

Línies de referència o correspondència. Són les línies auxiliars que relacionen dos punts entre dues projeccions diferents i són perpendiculars a la recta d'intersecció entre aquests plans de projecció. Es dibuixen amb un traç molt fi, si cal es pot no representar la part central entre planta i alçat. Línia de terra (LT): és la intersecció entre el pla horitzontal i el pla vertical de projecció, es representa amb una línia fina amb dues petites ratlles en els seus extrems. VARIACIONS DEL SISTEMA: Hi ha dues variacions principals del sistema:

• Mètode clàssic: és el mètode original desenvolupat per Gaspard Monge (un dels pares del Dièdric). En aquest mètode, els plans de projecció PHP i PVP són fixes (com si fossin elements del sistema) i queden definits per la línia de terra i per les traces dels plans.
• Mètode directe: és l'evolució del mètode clàssic. Utilitza com a plans principals plans paral·lels als diedres de referència. Així que els objectes utilitzen la posició relativa entre els elements a representar.