[color=#000000]Через сторону АD ромба АВС[/color]D проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние равное 3sqrt(3) см. Сторона ромба  - 12 см, угол ВСD равен 30 градусов. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа.

Так как нам нужно выйти на угол FEC, который мы найдем через [math]sin\angle FEC=\frac{CF}{EC}[/math][math]\Longrightarrow[/math][math]\angle FEC=arcsin\left(\frac{CF}{EC}\right)[/math][br][br]Находим длину отрезка EC:[br][math]\angle DCE=90^\circ-30^\circ=60^\circ[/math][br][math]cos\angle DCE=\frac{EC}{DC}[/math][br][math]EC=cos\angle DCE\cdot DC[/math][br][math]EC=cos60^\circ\cdot12=\frac{1}{2}\cdot12=6[/math][br][br]Находим угол между плоскостью ромба и плоскостью [math]\alpha[/math]:[br][math]\angle FEC=arcsin\left(\frac{3\sqrt{3}}{6}\right)=arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=60^\circ[/math][br][br]Ответ: угол между плоскостью ромба и плоскостью [math]\alpha[/math] равен 60[math]^\circ[/math]

Треугольник АСВ - прямоугольный (угол С - прямой), АС=СВ=3 см. Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольниом АСВ; АМ =СМ=sqrt(6) см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны.[br]а) Докажите, что МС перпендикулярен ВС.[br]б) Найдите угол между МВ и плоскостью ABC.[br]3* Найдите расстояние от середины АВ - точки Е - до плоскости ВМС.

1) По условию сказано, что плоскости взаимно перпендикулярны, а значит любая прямая лежащая в первой плоскости будет перпендикулярна любой прямой лежащей во второй плоскости. Из этого следует, что прямая MC перпендикулярна прямой BC.[br][br]2) Необходимо найти угол MBN[br]Так как треугольник MCA является равнобедренным, то ME является высотой треугольника, а также делит основание на две равные части, то есть CN=NA=1,5 (см)[br][br]По теореме Пифагора:[br]BN=[math]\sqrt{\left(BC\right)^2+\left(CN\right)^2}[/math][br]BN=[math]\sqrt{3^2+1.5^2}=\sqrt{11.25}=1.5\sqrt{5}[/math][br][br]По теореме Пифагора:[br]MN=[math]\sqrt{\left(MC\right)^2-\left(CN\right)^2}[/math][br]MN=[math]\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2-1.5^2}=\sqrt{3.75}=0.5\sqrt{15}[/math][br][br][math]tan\angle MBN=\frac{MN}{BN}[/math][br][math]tan\angle MBN=\frac{0.5\sqrt{15}}{1.5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math][br][math]\angle MBN=30^{\circ}[/math][br][br]3) Проводим прямую параллельную прямой BC через точку E. Прямая BC лежит в плоскости BMC и если параллельная прямая проведенная через точку Е параллельна прямой BC, то эта прямая параллельна плоскости BMC. А значит, что любая точка, находящаяся на этой прямой, равноудалена от плоскости BMC. Точка N лежит на этой прямой и удалена от плоскости BMC ровно настолько же, насколько удалена точка E. Значит EG=NP.[br]Рассмотрим треугольник MNC. Его площадь можно найти по формуле: [math]S=\frac{MN\cdot NC}{2}[/math], так как это прямоугольный треугольник или можно найти по через высоту NP по формуле: [math]S=\frac{NP\cdot MC}{2}[/math] .[br]Так как это площадь одного и того же треугольника, то мы можем их прировнять и из получившегося уравнения выразить формулу для нахождения длины отрезка NP, а соответственно и EG.[br][math]\frac{NP\cdot MC}{2}=\frac{MN\cdot NC}{2}[/math][br][math]NP=\frac{MN\cdot NC}{MC}[/math][br][math]NP=\frac{0.5\sqrt{15}\cdot1.5}{\sqrt{6}}=0.75\sqrt{2.5}\approx1.186\left(см\right)[/math][br][math]EG=NP\approx1.186\left(см\right)[/math][br][br]Ответ: прямая MC перпендикулярна прямой BC; угол между MB и плоскостью ABC равен 30[math]^\circ[/math]; расстояние от середины AB до плоскости BMC равно приблизительно 1.186 см.