Vous connaissez sans doute [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9non_d%27%C3%89l%C3%A9e]Zénon d'Élée[/url]. C'est le plus connu de la fratrie des [math]n[/math] frères de la famille Énélée. Et il était tout le temps en retard au repas!! Alors ses [math]n-1[/math] frères, s'impatientant, mangeaient leur part en l'attendant. Mais comme il ne venait toujours pas, la part de Zénon était de nouveau découpée en [math]n[/math] parts et une lui était quand-même destinée. Mais il ne venait toujours pas! Et la part restante étant plus petite, ça prenait encore moins de temps de la découper et de manger chacun sa part...
[b]Situation :[/b][br]Les [math]n-1[/math] frères de Zénon mangent une galette de la manière suivante :[br]La 1ère minute (k=1) ils mangent les [math]n-1[/math] des [math]n[/math] parts de la galette, [br]la 2e minute (k=2) ils mangent les [math]n-1[/math] des [math]n[/math] parts de ce qui reste ils auront donc mangé [math]\frac{n-1}n+\frac{n-1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}[/math] de la galette.[br]Ils continuent ainsi chaque minute suivante en mangeant presque tout ce qui reste de la galette.
Quelle fraction de la galette Zénon restera-t-il à Zénon après trois minutes ?
Après 12 jours (lorsque n=12) restera-t-il de la galette ? Et après 100 jours ?[br][i]Vous pouvez zoomer sur l'appliquette ci-dessus en cas de doute.[/i]
Calculer la somme suivante et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :[br][br][math]\frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{n-1}{n^3}+\frac{n-1}{n^4}[/math]
C'est [math]1-\frac{1}{n^4}=\frac{n^4-1}{n^4}[/math].
Au bout de combien de minutes les frères de Zénon auront-t-ils mangé plus de 99,99% de la galette ?
Quand [math]\frac 1{n^k}<\frac 1{10000}[/math] soit [math]k>4\frac {\ln 10}{\ln n}[/math].
On peut aussi voir ça comme une vision géométrique de la convergence de la série géométrique de raison [math]\frac{1}{n}[/math]: [math]\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^k}=\frac1{n-1}\left(1-\frac1{n^k}\right)[/math].