Bij zonnebloemen zijn de zaden spiraalgewijs op een [i]dipas [/i]geplaatst. Hierbij is de waarde van [math]\delta[/math] niet willekeurig. Het grote cirkelvormige midden van de zonnebloem wordt zo efficiënt mogelijk opgevuld. Dit betekent zodat elk zaadje maximaal veel ruimte krijgt. [br]In het applet kan je nagaan dat dit niet het geval is met bijvoorbeeld een waarde [math]\delta=\frac{1}{8}[/math]. De pitten staan vlak bij elkaar op een straal, met heel veel lege ruimte tussen de 8 stralen.[br]

Met [math]\delta=\frac{144}{233}[/math] of [math]\delta=\varphi[/math] krijg je al een heel ander verhaal en nu wordt het interessant.[br]De getallen 144 en 233 zijn niet toevallig gekozen, het zijn opeenvolgende Fibonacci getallen en [math]\varphi=0.681[/math] ken je uiteraard ook. [br]Experimenteer in het applet met volgende verhoudingen [b]13:21, 21:345, 34:55, 55:89, 89:144 en 144:233[/b].[br]In [url=https://www.blogger.com/profile/08053866714451812324]Golden Maths & Myths[/url] vind je meer wiskundige achtergrond over dergelijke rijen en schikkingen. [br][u]Waarschuwing[/u]: hiervoor moet je wel een degelijke wiskundige achtergrond hebben over limieten en differentiaalvergelijkingen.[br]Uit berekeningen én wiskundige bewijzen blijkt onweerlegbaar:[br][list][*][math]\varphi[/math] is de meest efficiënte waarde voor [math]\delta[/math] bij oneindige rijen.[/*][*]Bij zonnebloemen is het aantal pitten uiteraard niet oneindig. Meer nog: Bij dergelijke, eindige rijen wordt [math]\varphi[/math] in efficiëntie geklopt door Fibonacci-breuken. De gangbare bewering dat rationale getallen niet efficiënt zijn om punten maximaal te spreiden op een [i]dipas,[/i] en dat je daarom [math]\varphi[/math] terugvindt in zonnebloemen is wiskundig onwaar.[/*][/list]Hier speelt weer het verband tussen de rij van Fibonacci en [math]\varphi[/math]. [br]In oneindige rijen vind je [math]\varphi[/math] als limietwaarde, in zonnebloemen vind je Fibonaccibreuken.[br]In het applet merk je het kleine verschil tussen beide schikkingen en daarom wordt, zoals vaak, het woord 'ongeveer [math]\varphi[/math]' gehanteerd. Blijkbaar kent het 'ongeveer' van een irrationaal getal meer bijval dan exact natelbare rationale getallen. [br]Een deur van 1 m is toch ook precies 1 m breed en niet ongeveer 1 meter en 6.18 mm...[br]Chris Impens steunt in zijn efficiëntie bewering op de stelling van Ridley en neemt ook een bewijs ervan op.[br]

Wil je de wiskundige uitdaging aangaan om de Ridley's wiskunde van Ridley te begrijpen, dan kan je het artikel van Ridley downloaden op [url=https://www.researchgate.net/publication/248598801_Ideal_phyllotaxis_on_general_surfaces_of_revolution]ResearchGate[/url]. [br]Begin er enkel aan mits een grondige kennis van goniometrie, limieten van reeksen en afgeleiden. Anderzijds: trek de stelling niet in twijfel als je ze niet gelezen hebt of niet begrijpt. Wiskundige kennis krijg je nu eenmaal niet gratis.

Verder duikt Fibonacci nog op een andere manier op in zonnebloemen.[br]Daarover lees je meer in volgend werkblad.

In wetenschappelijke lectuur vind je meer informatie over auxines. Dit zijn plantenhormonen die door lokale ophopingen de groei van de plant sturen. Zo buigt een bloem zich naar het licht na een ophoping van auxines aan de schaduwkant, zodat die sterker gaat groeien en zo de plant doet afbuigen. Het groeien van een plant, het aanmaken van vruchten, de groei van wortels, het zijn alle processen die energie vragen. Het zijn de auxines die hierbij telkens vanuit efficiëntie de plant naar de optimale optie sturen.[br]Een vaak geciteerd artikel uit 2013 door [i]A. C. Newell en M. Pennybacker[/i] beschrijft hoe in planten stromen van auxines overeenkomen met gekende patronen van optimale pakking, die op hun beurt overeenkomen met rijen waarin elk volgend element de som is van vorige elementen. [url=https://www.geogebra.org/m/uzmpvfks#material/g4ueg7mn]Links [/url]vind je achteraan in dit boek. Wiskundig moet je weer wel differentiaalvergelijkingen door.[br]In ons gulden snedeverhaal blijkt wel duidelijk dat Fibonacci getallen in bladstanden en zaden (filotaxis) hier geen aparte illustraties zijn die wijzen naar de gulden snede als overkoepelend verklarend model. Neen, Fibonacci getallen zelf zijn de rechtstreekse resultaten van een biochemisch proces. [br]Zie: [url=https://pdf.sciencedirectassets.com/280366/1-s2.0-S2210983813X00069/1-s2.0-S2210983813001314/main.pdf?X-Amz-Security-Token=IQoJb3JpZ2luX2VjEE4aCXVzLWVhc3QtMSJHMEUCIBBJ5%2Bbp32Fy4nnWj%2Br66tMqDab0J92sLJ1EFKqWQ93SAiEAu65olxzHXpa3%2FFOcx6DmkaGuR1wOj71tz5fffyrmaUAqswUIFxAFGgwwNTkwMDM1NDY4NjUiDDfIk4j8URekzXc9miqQBey5p8LSx8srTWMw0Kur9S2tGi%2BCFfsD4bflcF4uUbl54jfIOsFoNrVfebPvXDOiYb25tAOWjordPUbepMdu4WY1eC8BXNK4qB4UK3hxY66XkYx1EJAL24c1wSnrkbIQLVC%2BP8t3YQ%2BSSXTXOmw7E0zEimTvwYYNpPs9WfzdMGVnrXAHz66E%2Bel1G3EYDC9BGaUcmTfdUqj5BGk2rnlVTxxpvhtRy6YQD0dSuG%2F1M7RoAyUEMoqHb9qw83E7T0QNAaygZVHEY6mXm8WmjBL6YHJqxzF1ZSuSazktSGBaVLPvRTKe6dqOfHeFLie6n9UuXmvoSQ37xQdDuXtP77KxFTjUgpiXGIN%2BZUobqkAPkeTFMQU7AwVrzptPIGGVkKxHuveD68fYjv%2FDzVBRN%2B%2Bn8r7tLTo8i7HNWEUSRhlYhmA4eCCGowOyd1g8529fs8tQ8B4y520Hljz%2BJGQZg5nFfm%2F2bCJyAZa7iDYtpYhjx94SL5C%2FMdzpV6bdbzB4yzcfdVRS208dfh0g93MvbNQeNpgDNR3ykNvRFyUiAmZ0%2FXKmGaQufx6A978qMKwz5lpLjVmnt1rnLTr0lQKq7LENo%2FJrZh5Ar6v5R8ziEEJ4KDofYB8fL91OmJDhMt%2FsYbOEDWNmcwKYCa3o%2FuePT5w7BAzpLNe5IX%2BQgalo2D%2F5HZEXYfJJnm1g%2BL%2FjKKjmP9LZ69Uea99RunNjTWW%2FxA6OhaACJAp4iYnPgerMx%2B%2BWWMEfCD3AeCxNhKvezQgZb%2FiBH7uvMvL1qmNJ9Nk1dfn6Hljvl9hByemo2qyqPvpbFnqZHU0Ae9QfCRSF0aowK3M0OCvU1IGjRdxwQjg0VDi5o97OBnbQ2K0euhHgdJZBuDg5MKXc4tUGOrEB5rTg4Jt0xSBiGBSRNV63RZSRaq8m3yya1Mh4LjHJY3srQgXMyJV4tlwmNCBWzVwl4yBHos7jYjj0dmsqSjgBR6YOkLyVONUNRFdVd4K948sbMJruWAC2ooQCfMy0dNm63z94urxA44D%2FEzNC%2F1vQ4tXoyauyziilDn4QIF1hf7RMii9ZIu5Gg0RsXINHKuon5mab75nIqLaxvdKjkXY6rii7vy1qEthEdw%2Fd0lBIPCdT&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20260927T071321Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=300&X-Amz-Credential=ASIAQ3PHCVTYSM5KVXFE%2F20260927%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Signature=32b34ae21da5f46e40c5a94014dca40d0a1755a8fdf446452404a03c2bd9e5b2&hash=e8441aeb5b30ffa5b10a94ccb2e894291f7dd6bca39fa0607c014509052c44b4&host=68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61&pii=S2210983813001314&tid=spdf-637528ca-6b55-471d-b5ca-c0251b8e76c8&sid=c2d105a487f0a945582a7660cfd4e512baf2gxrqb&type=client&tsoh=d3d3LnNjaWVuY2VkaXJlY3QuY29t&rh=d3d3LnNjaWVuY2VkaXJlY3QuY29t&ua=18030f57565d00515a5e0b&rr=a418b489db18867c&cc=be]Fibonacci patterns: common or rare?[/url] en [url=https://link.aps.org/accepted/10.1103/PhysRevLett.110.248104]Phyllotaxis, Pushed Pattern-Forming Fronts, and Optimal Packing[/url].