Quelle: Wikipedia
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrsiche Funktionen
Table of Contents
- Grundlagen: Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken
- Sinus-Kosinus-Tangens
- Bogenmaß
- Kreisbogen
- Zusammenhang Mittelpunktswinkel - Kreisbogen
- Winkelfunktionen am Einheitskreis
- Sinus/Kosinus/Tangens am Einheitskreis
- Die Ableitungsfunktion von sin(x) und cos (x)
- Ableitung der Sinusfunktion: graphisch differenzieren
- Ableitung der Sinusfunktion am Einheitskreis herleiten
- Anwendung im Sachkontext
- London Eye
Sinus-Kosinus-Tangens
Quelle: [url=https://www.geogebra.org/u/tbrzezinski]Tim Brzenzki[/url]
Kreisbogen
In Augusta Raurica, in der Nähe von Basel, steht ein römisches Theater. Die steinernen Stufen sind sektorenweise in Kreisbögen übereinander angeordnet. Zwischen den Sektoren führen Treppenstufen hinab in die Arena.[br]Entnimm die Abmessungen des Theaters der Zeichnung und berechne [color=#ff0000]die Länge der hintersten Sitzreihe[/color] in einem der "Blöcke" im Zuschauerraum.[br]Erläutere deinen Rechenweg.
[size=85]Quelle: GoogleMaps[/size]
Die Länge der hintersten Sitzreihe in einem der mittleren Blöcken ist ungefähr...
Sinus/Kosinus/Tangens am Einheitskreis
Hier lernst du, wie man Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis [br]darstellen kann. Anschließend erfolgt der Übergang zur Sinusfunktion.[br][br]Du kannst dir dafür zunächst das Video anschauen oder direkt zum nächsten Applet springen.
1. Bestimme (ohne den Winkel zu verändern) folgende Werte für Sinus, Cosinus und Tangens:[br][br]a) sin(90°)=[br]b) cos(90°)=[br]c) sin(0°)=[br]d) cos(180°)=[br]c) sin(180°)=[br][br]2. Begründe, für welche Winkel gilt: sin([math]\alpha [/math])=-1[br][br]3. Begründe, warum gilt: [math](sin(\alpha) )^2+(cos (\alpha))^2=1[/math]
Bisher hast du Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse kennengelernt und zuletzt gelernt, dass man Sinus, Kosinus und Tangens mithilfe des Einheitskreises auch für beliebige Winkelgrößen definieren kann.[br]Im folgenden Applet geht es nun um die sogenannte Sinus[b]funktion[/b].[br]Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Riesenrad und dem Funktionsgraphen und bearbeite dann die nachfolgende Aufgabe.
Beschreibe in Worten, welche Größen beim abgebildeten Funktionsgraphen einander zugeordnet werden.
Ableitung der Sinusfunktion: graphisch differenzieren
Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=sin(x) [/math].[br]Der Graph von [math]f [/math] ist in der Abbildung dargestellt.[br]Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion in dasselbe Koordinatensystem. Du kannst dir dafür nacheinander 3 Tipps anzeigen lassen.
Entsprechend kannst du auch durch graphisches Differenzieren den Graphen der Kosinusfunktion [math] f(x)=cos(x) [/math] skizzieren.
London Eye
Quelle: Wikipedia
[u]Technische Informationen[/u][br]Höhe: 135m[br]Raddurchmesser: 120m[br]Anzahl der Gondeln: 32[br]Fahrzeit (1 Umdrehung): ca. 30 min[br][br][u]Aufgabenstellung[/u][br]Bestimme eine Sinusfunktion, die die Zuordnung [i]Zeit (in min)→ Höhe (in m)[/i] modelliert.[br]Kontrolliere dein Ergebnis mit dem GTR.[br]Bestimme den Zeitpunkt nach Beginn der Fahrt, zu dem die Gondel eine Höhe von 50m erreicht hat. Berechne, wie lange man sich in einer Höhe von mehr als 100m befindet.
[u]Weiterführende Fragestellung:[/u][br]Gib den Zeitpunkt an, zu dem man den stärksten Höhengewinn macht. Berechne den Höhengewinn in m/s. (Beachte die Einheit!)
Den stärksten Höhengewinn macht man .......... min nach dem Start der Fahrt.[br]Er beträgt dann .......... m/s.