Racionalizar una expresión fraccionaria es dar una equivalente en la cual no aparezcan radicales en el denominador.[br]Vamos a distinguir 3 casos, de menor a mayor dificultad.
[u][size=100][size=150][color=#0000ff]Primer caso: raíz cuadrada en el denominador[/color][/size][/size][/u]
Cuando tenemos una única raíz cuadrada en el denominador es muy fácil librarse de ella. Una raíz cuadrada se va elevándola al cuadrado, o lo que es lo mismo, multiplicándola por si mismo.[br]Al igual que en los siguientes casos, si multiplicas el denominador por algo, tienes que multiplicador el numerador por lo mismo para obtener una fracción equivalente.[br]Ejemplo:[br][br] [math]\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/math]
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
[size=150][color=#0000ff][u]Segundo caso: raíz de cualquier índice en el denominador.[/u][/color][/size]
Imaginemos que tenemos en el denominador una raíz de índice 8 (n) y que dentro de dicha raíz hay una potencia cuyo exponente no es múltiplo de 8 (múltiplo de n). Para poder quitar dicha raíz, el exponente que hay dentro tendría que ser múltiplo de 8 (múltiplo de n). ¿Cómo consigo entonces librarme de la raíz?, muy sencillo. Vamos a multiplicar dicha raíz por otra de índice 8 (n) y que tenga dentro una potencia de la misma base que teníamos con un exponente que complete el que tenemos hasta 8 (n) o múltiplo de 8 (múltiplo de n). Para que tengamos la misma fracción el numerador tendrá que multiplicarse por lo mismo.[br][br]Con un ejemplo se verá más sencillo:[br][br] [math]\frac{3}{\sqrt[8]{5^6}}[/math][br][br]En este caso el exponente que tenemos dentro es 6, lo que nos falta son 2 unidades por lo que tendremos que multiplicar numerador y denominador por [math]\sqrt[8]{5^2}[/math], es decir:[br][br] [math]\frac{3}{\sqrt[8]{5^6}}=\frac{3}{\sqrt[8]{5^6}}\cdot\frac{\sqrt[8]{5^2}}{\sqrt[8]{5^2}}=\frac{3\sqrt[8]{5^2}}{5}[/math]
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
[color=#0000ff][u][size=150]Tercer caso: suma o diferencia en el denominador donde uno o los dos términos son raíces cuadradas.[/size][/u][/color]
En este tipo de casos ya no nos vale multiplicar por una raíz ya que nos va a quedar otra. Una raíz cuadrada se nos va elevándola al cuadrado y nos tenemos que asegurar que los dos términos queden elevados al cuadrado para deshacernos de las dos posibles raíces. Para ello vamos a recurrir a la siguiente identidad notable:[br][br] [math]\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)=a^2-b^2[/math][br][br]El método en si es simple ya que si tenemos la suma, multiplicamos por las diferencia numerado y denominador, y si tenemos la diferencia multiplicamos por la suma.[br]Veámoslo con un ejemplo:[br][br] [math]\frac{3}{\sqrt{27}-4}=[/math][br][br]En este caso en el denominador tenemos [math]a-b[/math] por lo que hay que multiplicar es por [math]a+b[/math] numerador y denominador:[br][br] [math]\frac{3}{\sqrt{27}-4}=\frac{3}{\sqrt{27}-4}\cdot\frac{\sqrt{27}+4}{\sqrt{27}+4}=\frac{3\cdot\left(\sqrt{27}+4\right)}{\left(\sqrt{27}\right)^2-4^2}=\frac{3\sqrt{27}+12}{11}[/math][br][br][br] [br][br]
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
Agradecimientos:[br][br]Las actividades son modificaciones (pequeñas) del trabajo de Débora Pereiro Carbajo ([url=https://www.geogebra.org/u/deborapereiro]https://www.geogebra.org/u/deborapereiro[/url]), gracias por tantas aportaciones a esta comunidad.