A KöMaL 2021. februári számában megjelent B.5153 számú feladat, amelyet Tarcsay Tamás, valamint e sorok írója tűzött ki, ez volt: Legyenek A, B, C egy egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsai, míg D egy pont az AB oldal B-n túli meghosszabbításán. A BC szakaszra B-ben állított merőleges a CD szakaszt az E pontban metszi. Határozzuk meg a CE szakasz hosszát, ha ED=1

Amellett hogy mutatunk e feladatra néhány megoldást, meg szeretnénk ismertetni olvasóinkat a feladat több, mint kétezer éves hátterével is.

A gyakorlott feladatmegoldók fejében e feladat láttán bizonyára azonnal felmerülnek Pólya György klasszikus kérdései:

• Hogyan tudnánk kapcsolatot teremteni az adatok és az ismeretlen között?
• Hogyan használhatnánk ki, hogy az ABCΔ szabályos?
• Melyek az ábra ismert szögei?
• Általában milyen összefüggések vezethetnek egy geometria feladat ismert és ismeretlen szakaszai közötti kapcsolat felderítéséhez?
• Vannak-e hasonló háromszögek a feladat ábráján? Ha nincsenek, ki tudnánk-e egészíteni a rajzunkat úgy, hogy legyenek?

Ezekhez hasonló kérdések nyomán hamar eljuthatunk egy (itt erősen indokolt a határozatlan névelő) megoldás alapötletéhez:

• Egészítsük ki az ábránkat a B pont A-ra vonatkozó tükörképével. Legyen ez B'!

Innen szinte egyenes út vezet feladat elemi megoldáshoz:

• Vegyük észre, hogy B'C ∥ BE, mivel DBE ∢ =DB'C ∢ =30°!
• Így ezért .
• Másrészt, mivel CAB'∢ =120° , így , és EBC∢ =90° , ezért . Ezek alapján: , ebből: .
• Az egyenletet szorzattá alakítva: , vagyis .

Játsszunk el azzal az ötlettel, hogy nem volt ötletük a fenti - elegáns(??) - megoldáshoz. Rá tudnánk bízni ezt ez egész problémát a GeoGebrára? Végül is - megfelelő előkészítés és a GeoGebra CAS rendszer alapos ismeretének a birtokában - igen.

Általában igaz, hogy ha egy geometria feladat megoldásakor - jobb híján - az analitikus utat választjuk, akkor számítanunk kell arra, hogy ez alaposabb szakmai felkészültséget, és a legtöbbször sok számolást igényel. Azonban azzal, hogy körültekintő módon helyezzük koordinátarendszerbe a feladatunkat, és jól előkészítjük a számolási részt, sokat javíthatunk a helyzetünkön. Ha a számolást valamilyen CAS rendszerre szeretnénk bízni, ez talán még fontosabb része a munkának. Legyen B=(0,0) , C=(0,1), D=(d_x,d_y) és E=(e,0). A koordináták ilyen megválasztása mellett máris kihasználtuk a CB⟂BE feltételt. Elemezzük rendre a GeoGerának adott CAS parancsokat:

1. A DBE∢=30° feltételt a d_x és d_y közötti kapcsolattal fejeztük ki, mindjárt két különböző módon felírva. (Így az A pontra nincs is szükségünk.) Figyeljük meg, hogy elkerülve az irracionális együtthatót, mennyivel "szelídebbek" lettek annak a polinomnak az együtthatói, amelynek a zérushelyei között ott van a keresett eredmény is.
2. Így - szorzat alakban felírva - fejeztük ki hogy a C, E és D pontok kollineárisak.
3. Felírtuk az ED=1 feltételt.
4. Felírtuk a keresett x = CE kapcsolatot.
5. A Geogebra talán kevésbé ismert Eliminál() parancsával kiküszöböltük a számunkra érdektelen változókat. *
6. Az így kapott első pillanatra ijesztő 8-adfokú polinom szorzattá alakítható, ebből már leolvasható a keresett x érték.

*Köszönet illeti Kovács Zoltánt a fenti CAS program megírásában nyújtott segítségéért.

Elemi trigonometriai összefüggéseken alapuló megoldásra is gondolhatunk.* Az x=CE szakasz mellett legyen y=BE és z=BD. Mivel az összes B csúcsú szög ismert, felíratjuk a BCEΔ-re a Pitagorasz tételt, BCDΔ és BEDΔ -re a koszinusz tételt. Az így kapott háromismeretlenes egyenletrendszer láttán legtöbben leteszik a tollat, hiszen innen a matematika nem szép része következne. De manapság a CAS rendszerek többnyire - így most is - elvégzik helyettünk ezt a munkát. Ebből már csak ki kell választani a geometriai tartalomhoz tartozó megoldást: *Köszönjük Dr. Hujter Mihálynak, ezt a megoldást, Tarcsay Tamásnak az egyenletrendszer CAS megoldását.

A matematikatörténetben valamelyest tájékozott olvasóink bizonyára felismerték, hogy a feladat megoldásaként kapott szám a híres ókori szerkesztési problémák egyike, a déloszi probléma. A történet röviden: Délosz szigetén kitört a pestis járvány. Megfékezésére az orákulum azt javasolta, hogy cseréljék ki a sziget Apolló szobrának a kocka alakú talapzatát egy kétszer akkora térfogatú kockára. A kérdés az volt, hogy ennek az élhossza megszerkesztető-e az euklideszi eszközökkel az egységnyi szakaszból. Ez - a többi híres ókori szerkeszthetőségi problémával együtt - 1837-ig nyitva maradt, amikor Pierre Wantzel igazolta, hogy a feladat euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg. Annak ellenére , hogy addig is sokakat foglalkoztattak ezek a kérdések, Wantzel eredménye még legalább ötven évig nem jutott el a matematikai köztudatba. Épp úgy, mint ahogy Bolyai János geometriai munkásságát is ötven év elteltével ismerte meg a világ. Bár az ókori görög matematikusok nem tudták megoldani a déloszi problémát, találtak rá egy -áthidaló - megoldást. Kitaláltak egy a GeoGebra szempontjából is figyelemre méltó eszközt, a neuszisz vonalzót (vagy neuszisz körzőt?), amellyel jórészt megoldhatóvá váltak a híres ókori szerkesztési problémák. Ezzel a témakörrel már csak az ókori görög matematikusok iránt érzett tiszteletből is - érdemes megismerkednünk. Itt mutatjuk be az erről készült GeoGebra anyagunkat. Végül is a járvány elmúlt, mint utóbb kiderült, az istenek nem is akarták, hogy ezt a problémát megoldja az emberiség, csak ezzel kívánták az emberek figyelmét a geometria irányába terelni. Sikerült. Mi is erre törekedve javasoltuk kitűzésre a fenti feladatot, amely lényegében Nikomédész szerkesztésén alapszik.