A KöMaL [b]2021. februári számában [/b]megjelent [b]B.5153[/b] számú feladat, amelyet [url=https://www.geogebra.org/u/tarcsaytamas]Tarcsay Tamás[/url], valamint e sorok írója tűzött ki, ez volt:[br][br]Legyenek [i]A, B, C[/i] egy egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsai, míg [i]D [/i]egy pont az [i]AB[/i] oldal [i]B[/i]-n túli meghosszabbításán. A [i]BC[/i] szakaszra [i]B[/i]-ben állított merőleges a [i]CD [/i]szakaszt az [i]E[/i] pontban metszi.[br]Határozzuk meg a [i]CE[/i] szakasz hosszát, ha [i]ED=1[/i]

Amellett hogy mutatunk e feladatra néhány megoldást, meg szeretnénk ismertetni olvasóinkat a feladat több, mint kétezer éves hátterével is.

A gyakorlott feladatmegoldók fejében e feladat láttán bizonyára azonnal felmerülnek Pólya György klasszikus kérdései:[br][list][*]Hogyan tudnánk kapcsolatot teremteni az adatok és az ismeretlen között?[/*][*]Hogyan használhatnánk ki, hogy az ABCΔ szabályos?[/*][*]Melyek az ábra ismert szögei?[/*][*]Általában milyen összefüggések vezethetnek egy geometria feladat ismert és ismeretlen szakaszai közötti kapcsolat felderítéséhez?[/*][*]Vannak-e hasonló háromszögek a feladat ábráján? Ha nincsenek, ki tudnánk-e egészíteni a rajzunkat úgy, hogy legyenek?[/*][/list]Ezekhez hasonló kérdések nyomán hamar eljuthatunk egy (itt erősen indokolt a határozatlan névelő) megoldás alapötletéhez: [br][list][*][u]Egészítsük ki az ábránkat a [i]B[/i] pont [i]A[/i]-ra vonatkozó tükörképével. Legyen ez [i]B'[/i]![i][br][/i][/u][/*][/list]Innen szinte egyenes út vezet feladat elemi megoldáshoz:[br][list][*]Vegyük észre, hogy [i]B'C[/i] ∥ [i]BE[/i], mivel DBE ∢ =DB'C ∢ =30°![/*][*]Így [math]DBE\Delta\approx DB'C\Delta[/math] ezért [math]\frac{EB}{ED}=\frac{CB'}{CD}[/math][code].[/code][/*][*]Másrészt, mivel CAB'∢ =120° , így [math]CB'=\sqrt{3}[/math] , és EBC∢ =90° , ezért [math]EB=\sqrt{x^2-1}[/math]. [br]Ezek alapján: [math]\sqrt{x^2-1}=\frac{\sqrt{3}}{x+1}[/math] , ebből: [math]x^4+2x^3-2x-4=0[/math].[br][/*][*]Az egyenletet szorzattá alakítva: [math]\left(x^3-2\right)\left(2x+4\right)=0[/math] , vagyis [math]x=\sqrt[3]{2}[/math]. [/*][/list]

Játsszunk el azzal az ötlettel, hogy nem volt ötletük a fenti - elegáns(??) - megoldáshoz. Rá tudnánk bízni ezt ez egész problémát a GeoGebrára? Végül is - megfelelő előkészítés és a GeoGebra CAS rendszer alapos ismeretének a birtokában - igen.

Általában igaz, hogy ha egy geometria feladat megoldásakor - jobb híján - az analitikus utat választjuk, akkor számítanunk kell arra, hogy ez alaposabb szakmai felkészültséget, és a legtöbbször sok számolást igényel. Azonban azzal, hogy körültekintő módon helyezzük koordinátarendszerbe a feladatunkat, és jól előkészítjük a számolási részt, sokat javíthatunk a helyzetünkön. Ha a számolást valamilyen CAS rendszerre szeretnénk bízni, ez talán még fontosabb része a munkának.[br][br]Legyen B=(0,0) , C=(0,1), D=(d[sub]x[/sub],d[sub]y[/sub]) és E=(e,0). A koordináták ilyen megválasztása mellett máris kihasználtuk a CB⟂BE feltételt.[br][br]Elemezzük rendre a GeoGerának adott CAS parancsokat:[br][list=1][*] A DBE∢=30° feltételt a d[sub]x [/sub]és d[sub]y [/sub]közötti kapcsolattal fejeztük ki, mindjárt két különböző módon felírva. (Így az A pontra nincs is szükségünk.) Figyeljük meg, hogy elkerülve az irracionális együtthatót, mennyivel "szelídebbek" lettek annak a polinomnak az együtthatói, amelynek a zérushelyei között ott van a keresett eredmény is.[/*][*]Így - szorzat alakban felírva - fejeztük ki hogy a C, E és D pontok kollineárisak. [/*][*]Felírtuk az ED=1 feltételt.[br][/*][*]Felírtuk a keresett x = CE kapcsolatot.[/*][*]A Geogebra talán kevésbé ismert [b]Eliminál() [/b]parancsával kiküszöböltük a számunkra érdektelen változókat. *[/*][*]Az így kapott első pillanatra ijesztő 8-adfokú polinom szorzattá alakítható, ebből már leolvasható a keresett x érték.[/*][/list][size=85]*Köszönet illeti [url=https://www.geogebra.org/u/zoltan]Kovács Zoltán[/url]t a fenti CAS program megírásában nyújtott segítségéért.[/size]

[br]Elemi trigonometriai összefüggéseken alapuló megoldásra is gondolhatunk.*[br]Az x=CE szakasz mellett legyen y=BE és z=BD. Mivel az összes B csúcsú szög ismert, felíratjuk a BCEΔ-re a Pitagorasz tételt, BCDΔ és BEDΔ -re a koszinusz tételt.[br]Az így kapott háromismeretlenes egyenletrendszer láttán legtöbben leteszik a tollat, hiszen innen a matematika nem szép része következne. De manapság a CAS rendszerek többnyire - így most is - elvégzik helyettünk ezt a munkát. Ebből már csak ki kell választani a geometriai tartalomhoz tartozó megoldást:[math]\frac{\sqrt[3]{4}^2}{2}=\sqrt[3]{2}[/math] [br][br][size=85]*Köszönjük [url=https://math.bme.hu/diffe/staff/hujter.shtml]Dr. Hujter Mihály[/url]nak, ezt a megoldást, [url=https://www.geogebra.org/u/tarcsaytamas]Tarcsay Tamás[/url]nak az egyenletrendszer CAS megoldását. [/size]

A matematikatörténetben valamelyest tájékozott olvasóink bizonyára felismerték, hogy a feladat megoldásaként kapott [math]x=\sqrt[3]{2}[/math] szám a híres ókori szerkesztési problémák egyike, a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Kockakett%C5%91z%C3%A9s]déloszi probléma.[/url] [br][br]A történet röviden: Délosz szigetén kitört a pestis járvány. Megfékezésére az [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Or%C3%A1kulum]orákulum[/url] azt javasolta, hogy cseréljék ki a sziget Apolló szobrának a kocka alakú talapzatát egy kétszer akkora térfogatú kockára. A kérdés az volt, hogy ennek az élhossza megszerkesztető-e az euklideszi eszközökkel az egységnyi szakaszból.[br][br] Ez - a többi híres ókori szerkeszthetőségi problémával együtt - 1837-ig nyitva maradt, amikor [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Wantzel]Pierre Wantzel[/url] igazolta, hogy a feladat euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg. Annak ellenére , hogy addig is sokakat foglalkoztattak ezek a kérdések, Wantzel eredménye még legalább ötven évig nem jutott el a matematikai köztudatba. Épp úgy, mint ahogy Bolyai János [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]geometriai munkásságát [/url]is ötven év elteltével ismerte meg a világ.[br][br]Bár az ókori görög matematikusok nem tudták megoldani a déloszi problémát, találtak rá egy -áthidaló - megoldást. Kitaláltak egy a GeoGebra szempontjából is figyelemre méltó eszközt, a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Neuszisz_szerkeszt%C3%A9s]neuszisz vonalzó[/url]t (vagy neuszisz körzőt?), amellyel jórészt megoldhatóvá váltak a híres ókori szerkesztési problémák. Ezzel a témakörrel már csak az ókori görög matematikusok iránt érzett tiszteletből is - érdemes megismerkednünk. [url=https://www.geogebra.org/m/bptvsghh]Itt mutatjuk be[/url] az erről készült GeoGebra anyagunkat.[br][br]Végül is a járvány elmúlt, mint utóbb kiderült, az istenek nem is akarták, hogy ezt a problémát megoldja az emberiség, csak ezzel kívánták az emberek figyelmét a geometria irányába terelni. Sikerült. [br][br] Mi is erre törekedve javasoltuk kitűzésre a fenti feladatot, amely lényegében[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Nikom%C3%A9d%C3%A9sz] Nikomédés[/url]z szerkesztésén alapszik.