Üblicherweise wird die Ableitung einer Funktion [math]f[/math] an einer Stelle grafisch als [i]Tangentensteigung[/i] des Graphen an der Stelle interpretiert. Je größer die Tangentensteigung ist, desto steiler ist dann der Graph. Die Ableitung ist daher ein Maß.[br]Man kann die Ableitung aber auch numerisch als Maß der Veränderung einer Umgebung betrachten. [br]In diesem Applet kannst du eine Funktion [math]f[/math] mit einem Funktionsterm eingeben und eine [i]Umgebung[/i] [math]\Delta x>0[/math] um einen Punkt [math]x_0[/math] einstellen. Voreingestellt ist der Funktionsterm [math]f(x)=x^2[/math].[br]Im Anschluss wird die [math]\Delta x[/math]-Umgebung um [math]x_0[/math], also [math]x_0\pm\Delta x[/math], durch die Funktion ausgewertet. Dabei entstehen der Funktionswert [math]y_0[/math] und eine [i]Änderung [/i][math]\Delta y[/math], die sich aus der Umgebung [math]\Delta x[/math] ergibt. Die Änderung [math]\Delta y[/math] ergibt sich aus [math]\Delta y=y_1-y_0=y_2-y_0[/math].[br]Im 3D-Grafikfenster ist der funktionale Zusammenhang zwischen [math]x_0[/math] und [math]\Delta y[/math] grafisch dargestellt.[br][br][i]Tipp[/i]: Mithilfe des Verschiebe-Grafik-Ansicht-Werkzeugs kanns du die [math]dy[/math]-Achse anpassen.

Verändere die Stelle [math]x_0[/math] und die Länge der Umgebung [math]\Delta x[/math]. Beschreibe deine Beobachtung.

Welcher Zusammenhang besteht näherungsweise zwischen [math]\Delta y[/math], [math]\Delta x[/math] und [math]x_0[/math] für die Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=x^2[/math]? [br]

Wie kannst du den funktionalen Zusammenhang genauer untersuchen?

Erläutere die Bedeutung, wenn [math]\Delta y[/math] negativ ist?[br]

Begründe mithilfe einer Rechnung: Für die Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=x^3[/math] erhält man näherungsweise [math]\Delta y\approx3x_0^2\cdot\Delta x[/math].[br][br]Tipp: Starte mit [math]\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(x_0+\Delta x)^3-x_0^3[/math]

Untersuche den funktionalen Zusammenhang zwischen [math]x_0[/math] und anderen Funktionen. Stelle in der 3D-Grafikansicht die [math]dy[/math]-Achse mithilfe des Werkzeugs Verschiebe-Grafik-Ansicht geeignet ein.